单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
数列 $x_n$ 与 $y_n$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 若 $X_n$ 收敛，则 $y_n$ 必为无穷小。
$\text{B.}$ 若 $X_n$ 为无穷大，则 $y_n$ 必为无穷小．
$\text{C.}$ 若 $x_n$ 有界，则 $y_n$ 必为无穷小。
$\text{D.}$ 若 $X_n$ 无界，则 $y_n$ 必为无穷小．
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列无穷小函数中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小？
$\text{A.}$ $\ln (1+x)-x$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^x-1-x$
$\text{C.}$ $\sin x-x$
$\text{D.}$ $\sqrt{1+2 x}-1-x$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2^{x y}=x+y$ 所确定，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}+1, & x < 0, \\ 2+\sin a x, & x \geq 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导，则常数 $a=$
设函数 $f(x)=\left(1-x^2\right) \mathrm{e}^{x^2}$ ，则 $f^{(20)}(0)=$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，则 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
心形线的极坐标方程为 $\rho=1+\cos \theta$ ，求该心形线在 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 所对应的点处的切线方程．
求曲线 $y=\frac{2 x^2+x}{\sqrt{x^2+1}}$ 的斜渐近线．
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\arctan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$
设 $f(x)=\mathrm{e}^x \sin x$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
设 $y=y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+y}+x y=x^2+\cos 2 x$ 确定，求 $y^{\prime \prime}(0)$ ．
当 $n \rightarrow \infty$ 时，若 $\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \sim a n^{-b}(b>0)$ ，求 $a, b$ 的值．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，$f(0)=1, f(1)=\frac{1}{2}$ ，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内至多有一个零点，证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=0$ ．
根据 $\alpha$ 的取值讨论级数敛散性。若非正项级数需讨论条件收敛和绝对收敛性。
（1）$\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sqrt[n]{\alpha}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right), \alpha>0$ ．
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $x_1=2, x_2=\frac{2}{3}, x_3=\frac{6}{5}, x_4=\frac{10}{11}, \cdots, x_{n+1}=\frac{2}{1+x_n}, \cdots$ ，证明数列 $x_n$ 收敛，并 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} X_n$ ．