单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $P(A B)=0$, 则必有 $(\quad)$ 。
$\text{A.}$ 事件 $A, B$ 互不相容
$\text{B.}$ 事件 $A, B$ 互为对立事件
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A-B)=P(A)$
AB 为随机事件, $\vec{B}$ 为对立事件, $P(A)=\frac{1}{3}, P(A \mid B)=\frac{1}{2}$, $P(A \mid B)=\frac{1}{5}$, 则 $P(B \mid A)=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{9}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{4}{9}$.
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其 中 $P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$ ． $\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 $P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 55\right\}$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$
$\text{D.}$ $\Phi(0.2)$
设事件 A 与 B 的概率均大于零小于 1 ，且 A 与 B 为对立事件，则下列不成立的是
$\text{A.}$ A、B 互不相容
$\text{B.}$ $\overline{ A }$ 与 $\overline{ B }$ 互不相容
$\text{C.}$ A、B 不独立
$\text{D.}$ A、B 独立
设 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且有相同的分布律： $P \{X=-1\}=0.3, P \{Y=1\}=0.7$ 则下列正确的是
$\text{A.}$ $X=Y$
$\text{B.}$ $P \{X=Y\}=0.42$
$\text{C.}$ $P \{X=Y\}=0.58$
$\text{D.}$ $P \{X=Y\}=1$
设 $A 、 B$ 为任意两个事件，且 $A \subset B, P(B)>0$ ，则下列选项必然成立的是
$\text{A.}$ $P(A) < P(A \mid B)$
$\text{B.}$ $P(A) \leq P(A \mid B)$
$\text{C.}$ $P(A)>P(A \mid B)$
$\text{D.}$ $P(A) \geq P(A \mid B)$
设随机变量 $X_i(i=1,2)$ 的分布律为
且满足 $P\left\{X_1 X_2=0\right\}=1$ ，则 $P\left\{X_1=X_2\right\}=( A )$ 。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0.5
$\text{C.}$ 0.75
$\text{D.}$ 1
设 $A, B$ 是两个随机事件，且 $P(B)>0, P(A \mid B)=1$ ，则
$\text{A.}$ $P(A+B)>P(A)$
$\text{B.}$ $P(A+B)>P(B)$
$\text{C.}$ $P(A+B)=P(A)$
$\text{D.}$ $P(A+B)=P(B)$ 。
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $Y=a X+b$ 服从
$\text{A.}$ $N\left(\mu, \sigma^2\right)$
$\text{B.}$ $N(0,1)$
$\text{C.}$ $N\left(\frac{\mu}{a},\left(\frac{\sigma}{b}\right)^2\right)$
$\text{D.}$ $N\left(a \mu+b, a^2 \sigma^2\right)$
设随机变量 $X \sim t(n)(n>1), Y=\frac{1}{X^2}$ ，则
$\text{A.}$ $Y \sim \chi^2(n)$ ．
$\text{B.}$ $Y \sim \chi^2(n-1)$ ．
$\text{C.}$ $Y \sim F(n, 1)$ ．
$\text{D.}$ $Y \sim F(1, n)$ ．
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $X \sim U(a, b)$ ，则 $E(X)= D(X)=$ ．
设 $P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B \mid A)=0.8$ ，则 $P(B-A)=$
设 $X$ 服从 $b ( n , p )$ ，且 $E(X)=2, D(X)=1$ ，则 $P\{X \geq 1\}=$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数为 $\rho$ ，且 $D(X)=4, D(Y)=1, D(X-2 Y)=4$ ，则 $\rho=$
袋中有 9 个黑球， 3 个白球，现每次取一个，无放回的取两次，则第二次取到的球是白球的概率为
已知 $P(A)=\frac{1}{3}, P(B \mid A)=\frac{1}{4}, P(A \mid B)=\frac{1}{6}$ ，则 $P(A \bar{B})=$ ，$P(A \bigcup B)=$
设 $X$ 的分布列为
$E(X)=$ ， $\operatorname{Var}(X)=$
设随机变量 $X$ 的方差为 2 ，则根据切比雪夫不等式估计$P\{|X-E X| \geq 2\} \leq$ $\_\_\_\_$
设 $X, Y$ 为随机变量，数学期望都是 2 ，方差分别为 1 和 4 ，相关系数为 0.5 ，试用切比雪夫不等式估计概率 $P\{|X-Y| \geq 6\}$
设 $X$ 为随机变量且 $E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2$ ．则由切比雪夫不等式，有 $P\{|X-\mu| \geqslant 3 \sigma\} \leqslant$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 的分布律为
求（1）$X$ 的分布函数 $F(x)$ ；（2）$P\{0 \leq X \leq 2.5\}$ 及 $P\{2 < X \leq 3\}$ 。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
C y(1-x), 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求（1）常数 C ；
（2）判断X及Y是否独立；
（3）求概率 $P\{X+Y \leq 1\}$ 。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设事件 $A$ 的概率 $P(A)=0$ ，证明对于任意另一事件 $B$ ，有 $A, B$ 相互独立．