解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求由曲线 $y=\mathrm{e}^x, x=1, x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转所成立体的体积．
设曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=1-x^2$ 在第一象限内的交点为 $A$ ，过原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=x^2$ 围成平面图形 $D$ ．求：
（1）$D$ 的面积 $S$ ；（2）$D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
求曲线 $y=2 x, y=0, x=1$ 所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积
过坐标原点作曲线 ${y}=\ln {x}$的切线，该切线与曲线 ${y}=\ln {x}$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D ．
（1）求 D 的面积 A ；（2）求 D 绕直线 $x=e$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$
过原点作抛物线 $y=f(x)=\sqrt{x-1}$ 的切线，设 $D$ 是该切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成的平面区域。求区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=x^2+2$ 与直线 $x=0, y=3$ 围成的平面图形在第一象限部分的面积，并求此部分绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转体的体积 V 。