单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_n\right|}{v_n}=1$ ，则下列说法中正确的是
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛；
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散；
（3）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛；
（4）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散．
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ (2)(3) ．
$\text{C.}$ (3)(4) ．
$\text{D.}$ （1）（4）．
当 $x \rightarrow 0$ 时，$x-\sin (a x)$ 与 $x^3$ 是同阶无穷小，则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y+x e^y=\ln 5$ 所确定，则 $y^{\prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ -5
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ $-\frac{1}{5}$
若 $f(x)=-f(-x)$ ，在 $(0,+\infty)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内（）．
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ；
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ；
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ，
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$,
设函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，$f^{\prime \prime}(0) \neq 0, f^{\prime}(0)=0$ ， $f(0)=0$ ，则 $x=0$ 是 $F(x)$ 的 $\quad$ 。
$\text{A.}$ 第一类间断点．
$\text{B.}$ 连续点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点或间断点，不能由此确定．
设 $f(x)=(x-1)^{10} \sin x$ ，则 $f^{(11)}(1)=$
$\text{A.}$ $10!\cdot \cos 1$ ．
$\text{B.}$ $11!\cdot \cos 1$.
$\text{C.}$ $10!\cdot \sin 1$.
$\text{D.}$ $11!\cdot \sin 1$ ．
曲线 $y=\frac{3 x^3}{2-x^2}+\operatorname{arccot}(x+2)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 4 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 1 ．
方程 $x=\sin x+2$ 有实根的区间是 ．
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, 3\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$
设 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3 x+2}$ ，则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 $A$
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
若函数 $f(x)$ 连续，$\varphi(x)=\int_{\sin x}^1 f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}=$ 。
$\text{A.}$ $f(\sin x)$
$\text{B.}$ $f(\sin x) \cos x$
$\text{C.}$ $f(-\cos x)$
$\text{D.}$ $-f(\sin x) \cos x$
估计 $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}\left(1+\sin ^2 x\right) \mathrm{dx}$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq \pi$
$\text{B.}$ $\pi \leq I \leq 2 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq 2 \pi$
$\text{D.}$ $\pi \leq I \leq \frac{3 \pi}{2}$
下列广义积分收敛的是 ．
$\text{A.}$ $\quad \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^3}} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$
如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=2$ 处收敛，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 当$|x| < 2$ 时级数绝对收敛；
$\text{B.}$ 当 $|x| < 2$ 时级数条件收敛；
$\text{C.}$ 当 $|x|>2$ 时级数发散；
$\text{D.}$ 以上结论都不对．
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=\left(x^2-x+1\right) e^{2 x}$的特解形式可设为 $y^*=$
$\text{A.}$ $a x^2+b x+c$ ；
$\text{B.}$ $\left(a x^2+b x+c\right) e^{2 x}$ ；
$\text{C.}$ $\left(a x^3+b x^2+c x\right) e^{2 x}$ ；
$\text{D.}$ $\left(a x^4+b x^3+c x^2\right) e^{2 x}$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $x>0$ 时，可微函数 $f(x)$ 及其反函数 $g(x)$ 满足 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}-8\right)$ ，则 $f(x)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|^{x+2}}{\sqrt{1+x^2}-1}=$
$\int_{-1}^1 \frac{x \cos x}{x^2+\cos x+2} d x=$
方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0$ 的通解为
当且仅当 $q$ 的值满足条件 $\_\_\_\_$时，等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{q^n}$ 收敛
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x-1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
$\int_{-1}^1(2+x)^2\left(1-x^2\right)^{\frac{3}{2}} d x$
证明：当 $0 \leq x < +\infty$ 时， $\arctan 3 x \leq \ln (1+4 x)$ ，且仅当 $x=0$ 时等号成立
曲线 $y^2=x+2$ 与纸在线 $y=x$ 所围区域绕直线 $x=2$ 旋转一周的体积．
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x$
计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^2 \sin x}$
计算不定积分 $\int \frac{1}{(x+2) \sqrt{x+1}} d x$
设 $y=\frac{1}{2 x+3}$ 求 $y^{(n)}(0)$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 点连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=-1$ ，
（1）求 $f(0)$ ；
（2）讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 是否可导？
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $x \ln x$ ，求 $\int_1^e x f(x) d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ 的特解．
已知点 $(1,-1)$ 是曲线 $y=x^3+a x^2+b x+c$ 的拐点，且该曲线在 $x=0$ 处有极值为 1 ．试确定 $a, b, c$ 的值．
求由 $y=x^3, x=2, y=0$ 所围平面图形的面积，并求该平面图形绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
将函数 $f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+3)}$ 展开成关于 $(x-2)$ 的幂级数，并指出其收敛区间
设有幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{3^n x^n}{n+1}$ ，
（1）求其收敛半径；
（2）指出其收敛区间；
（3）讨论幂级数在收敛区间端点处的敛散性，并确定其收敛域。
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a b)$ 使 $\left(b^2-a^2\right) f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(b)-f(a)]$.
证明： $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x$ ．
证明：当 $x>0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$ ．