解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $\varepsilon_n= e -\left(1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$ ，证： $\lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon_n(n+1)!=1$ ．
解答下列问题：
（1）设 $a_1+a_2+a_3=0$ ，试论 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n\left(I_n=a_1 \sqrt{n}+a_2 \sqrt{n+1}+a_3 \sqrt{n+2}\right)$ 。
（2）试定 $a, b, c$ 之值，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n=2\left(I_n=n\left(a n+\sqrt{2+b n+c n^2}\right)\right.$ 。
（3）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p_1 a_1^{n+1}+p_2 a_2^{n+1}+\cdots+p_k a_k^{n+1}}{p_1 a_1^n+p_2 a_2^n+\cdots+p_k a_k^n}=a_{k_0} \triangleq \max \left\{a_1, a_2, \cdots, a_k\right\}\left(a_i>0\right.$, $\left.p_i>0(i=1,2, \cdots, k)\right)$.
(1) $I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( e ^{-1}\right) e ^{1 / n}}{n\left( e ^{1 / n}-1\right)}$.
(2) $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}+\frac{\alpha^2}{2 n^2}\right)^{-n}$.
(3) $I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2+\sqrt[n]{64}}{3}\right)^{2 n-2}$.
(4) $I=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(x^{1 / n}-x^{1 / 2 n}\right)(x>0)$.
$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^n(a>0, b>0, c>0)$.
试求下述数列极限：
（1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n\left(\sqrt[3]{1+\frac{k}{n^2}}-1\right)$ ．
（2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k a}{n^2}$ ．