单选题 （共 21 题 ），每题只有一个选项正确
已知 3 阶矩阵 $A , B$ 满足 $A B = O$ ，其中矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\ 3 & a & 0 \\ -4 & 0 & c\end{array}\right)$ ，实对称矩阵 $B$ 每行元素之和均为 3 ，则当 $x =(1,-1,2)^{ T }$ 时，二次型 $x ^{ T } B x =(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\ b & -3\end{array}\right)$ ，下列说法
（1）若矩阵 $A , B$ 相似，则 $a=1, b=-5$ ；
（2）若矩阵 $A , B$ 合同，则 $a < -3, b=3$ ；
（3）若矩阵 $A , B$ 等价，则 $a \neq 1$ 且 $b \neq-5$ 。
正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
3 阶行列式 $D$ 的元素为 $a(a>0)$ 或 0 ，则该行列式的最大值为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} a^3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} a^3$
$\text{C.}$ $2 a^3$
$\text{D.}$ $a^3$
下列说法中：
（1）已知非零列向量 $\alpha$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解，其中 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则非齐次线性方程组 $A ^* x = \alpha$ 有解的充要条件是 $r( A )=n-1$ ；
（2）已知 $m \times n$ 矩阵 $A$ 行满秩， $B$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵，有 $A B = O , A \alpha = 0$ 成立，则存在唯一的列向量 $\gamma$ ，有 $B \gamma = \alpha$ 成立；
（3）已知齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 的基础解系分别为 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r r s}$ ，其中 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，两个方程组无非零公共解，则任一 $n$ 维列向量 $\eta$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ ， $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r-s}$ 唯一线性表示；
（4）若齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解，则存在 $n$ 阶矩阵 $C _1, C _2$ 使得 $A = C _1 B , B = C _2 A$ ．正确的个数为（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法
（1）已知 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足 $B C = O$ ，且 $r( A ) < r( C )$ ，则存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$ ，使得 $A \alpha =$ Bo；
（2）已知矩阵方程 $A X B = C$ 有解，其中 $A , B , C$ 分别为 $m \times n, l \times s, m \times s$ 矩阵， $X$ 为 $n \times l$ 矩阵，若 $r( A )=r( A \vdots C )=n, r( B )=r\binom{ B }{ C }=l$ ，则方程 $A X B = C$ 有唯一解；
（3）非齐次方程组 $\left(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right)\binom{ x }{ y }=\binom{ 0 }{ \beta }$ 有解的充要条件是 $r( B )>0, r( A )=r( A \vdots \beta )$ ；
（4）非齐次方程组 $A x = \beta$ 有解的充要条件是向量 $\beta$ 与齐次方程组 $A ^{ T } x = 0$ 的所有解向量正交．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若矩阵 $A , B$ 相似，则不一定存在矩阵 $P _1, P _2$ ，使得 $A = P _1 P _2, B = P _2 P _1$
$\text{B.}$ 若存在可逆矩阵 $P$ ，使得矩阵 $A , B$ 都可相似对角化，则 $A B = B A$ 不一定成立
$\text{C.}$ 若 $n$ 阶矩阵 $A , B$ 都满足矩阵方程 $X ^2=\lambda X (\lambda \neq 0)$ ，则矩阵 $A , B$ 相似的充要条件为 $r( A )=r( B )$
$\text{D.}$ 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则矩阵 $A ^{ T } A$ 的特征值均大于 0
已知 3 阶矩阵 $A = E -\frac{ \alpha \alpha ^{ T }}{4}+\frac{ \beta \beta ^{ T }}{ \beta ^{ T } \alpha }$ ，其中 $\alpha , \beta$ 均为 3 维列向量，有 $\| \alpha \|=2,\| \beta \|=1$ ， $\alpha ^{ T } \beta >0$ ，下列说法
（1）若 $\alpha - \beta$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，则 $\alpha ^{ T } \beta =2$ ；（2）若 $\alpha , \beta$ 成比例，则 $\alpha =2 \beta$ ；（3）矩阵 $A$ 正定．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A$ 为 $2 \times 3$ 非零矩阵， $B =\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & k \\ -2 & 4 & -6 \\ 3 & -6 & 9\end{array}\right)$ ，且满足 $A B = O$ ，则
$\text{A.}$ 当 $k=3$ 时，必有 $r( A )=1$ ．
$\text{B.}$ 当 $k=3$ 时，必有 $r(A)=2$ ．
$\text{C.}$ 当 $k \neq 3$ 时，必有 $r( A )=1$ ．
$\text{D.}$ 当 $k \neq 3$ 时，必有 $r( A )=2$ ．
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=\sum_{i=1}^4 x_i^2+\sum_{1 \leq i < j \leq 4} 2 a x_i x$ ，的正惯性指数为 1 ，则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $a < 1$
$\text{B.}$ $a \leqslant-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3} < a < 1$
$\text{D.}$ $ a \geqslant 1$
设 $A , B , C$ 均为 $n$ 阶矩阵，则 $r\left(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array}\right)=r( A )+r( B )$ 是 $C$ 的列向量可由 $A$ 的列向量线性表示的
$\text{A.}$ 必要非充分条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
二次型 $x ^{ T } A x =\left(x_1+2 x_2+a x_3\right)\left(x_1+5 x_2+b x_3\right)$ 的正惯性指数 $p$ 与负惯性指数 $q$ 分别为
$\text{A.}$ $p=2, q=1$
$\text{B.}$ $p=2, q=0$
$\text{C.}$ $p=1, q=1$
$\text{D.}$ 与 $a, b$ 有关，不能确定
设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则下列选项中不是矩阵 $A + E$ 可逆的充分条件的是（ ）
$\text{A.}$ 存在矩阵 $P$ ，使得 $A = P ^{ T } P$
$\text{B.}$ 矩阵 $A$ 满足方程 $A ^3- A ^2-4 A +4 E = O$
$\text{C.}$ $A \alpha _1= \alpha _2, A \alpha _2= \alpha _3, \cdots, A \alpha _{n-1}= \alpha _n, A \alpha _n= \alpha _1$ ，其中 $\alpha _1, \cdots, \alpha _n$ 为线性无关的 $n$ 维列向量组
$\text{D.}$ $r( A )=1$ 且 $A$ 的各行元素之和均为 1
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $A ^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵， $A ^{ T }$ 为 $A$ 的转置矩阵，则下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\left( A ^*\right)^*= A$ 的充分条件是 $A$ 为 2 阶矩阵
$\text{B.}$ $A ( A - E )= O$ 的必要条件是 $A$ 可相似对角化
$\text{C.}$ $B$ 为 $A$ 的伴随矩阵的充要条件是 $A B =| A | E$
$\text{D.}$ 若 $A ^*= A ^{ T }$ ，且 $n>2$ ，则 $A$ 为正交矩阵
设有 $n$ 维列向量组（I ） $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 和（II） $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _m$ ，令 $s=r\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n\right), t=r\left( \beta _1\right.$ ， $\left.\beta _2, \cdots, \beta _m\right), r_1=r\left( \alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n, \beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _m\right)$ ，下列 $s, t, r_1$ 的取值中，能保证存在能同时由向量组（I）和向量组（II）线性表出的非零向量的有（ ）个
（1）$s=2, t=2, r_1=3$ ，（2）$s=2, t=1, r_1=3$ ，（3）$s=3, t=2, r_1=4$ ，（4）$s=n$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，则下列各个命题中，不是齐次线性方程组 $A x = 0$ 与齐次线性方程组 $B x=0$ 同解的充分条件的是（ ）
$\text{A.}$ 矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的行向量组等价
$\text{B.}$ 矩阵方程 $X B = A$ 有解，且 $r( B )=r( A )$
$\text{C.}$ 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A P = B$
$\text{D.}$ $r( A )=r( B )=r\left(\begin{array}{ll} A ^{ T } & B ^{ T }\end{array}\right)$
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则下列命题中，正确的有（ ）个
（1）$A^* \neq O$
（2）对任意的正整数 $n, r\left( A ^n\right)=r( A )$
（3）若矩阵 $B$ 满足 $A B = B A$ ，则当 $P ^{-1} A P$ 为对角矩阵时， $P ^{-1} B P$ 也为对角矩阵
（4）若矩阵 $B$ 满足 $A B = B A$ ，则当 $P ^{-1} B P$ 为对角矩阵时， $P ^{-1} A P$ 也为对角矩阵
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right), C =\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right), A , B , C$ 均可逆，则（）
$\text{A.}$ $A , B$ 不相似但合同．
$\text{B.}$ $B , C$ 既相似又合同．
$\text{C.}$ $A , C$ 不相似但合同．
$\text{D.}$ $B , C$ 不相似但合同．
设 3 维行向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是正交的单位向量， $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}$ ，则二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的规范形为（ ）。
$\text{A.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2-y_2^2+y_3^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，$r(\boldsymbol{A})=r, \boldsymbol{E}_r$ 为 $r$ 阶单位矩阵，则＂ $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$＂是＂存在列满秩矩阵 $\boldsymbol{C}_{n \times r}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C B}, \boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_r$＂的
$\text{A.}$ 充分非必要条件。
$\text{B.}$ 必要非充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 是三个 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_n$ ．则有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})=n$ ．
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})>n$ ．
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 2 n$ ．
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) < n$ ．
已知向量组（ I ） $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ ，（II） $\boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}6 \\ 6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 和矩阵 $\boldsymbol{A}= \left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，则
$\text{A.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\text{B.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价．
$\text{C.}$ 向量组（I）与（II）等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
$\text{D.}$ 向量组（I）与（II）不等价，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 不等价．
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A =\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right), A_{i j}$ 为 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 A_{i j}=$
设 4 维非零列向量 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 与列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 分别正交，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为三维列向量．已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}$ ．记 $f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ，若 $f(0)=12$ ，则 $f(5)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left|\begin{array}{cccc}0 & -x_1 & -x_2 & -x_3 \\ x_1 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ x_2 & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x_3 & a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$ ，其中实对称矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ．
（1）求二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵；
（2）已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 经正交变换化为标准形 $y_1^2+4 y_2^2+y_3^2$ ，其中 $| A |>0$ ，矩阵 $A$ 各行元素之和为 $a(a < 1)$ ，矩阵 $B$ 满足 $\left[\left(\frac{1}{2} A \right)^*\right]^{-1} B A =6 A B +12 E$ ，求可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Lambda$ ，使得 $P ^{ T } B P = \Lambda$ ．
已知向量组（I）：
$$
\alpha _1=(2,1,-1)^{T}, \alpha _2=(1,-1,1)^{T}, \alpha _3=(4,5, c)^{T}
$$
向量组（II）：
$$
\beta _1=(a, b,-1)^{T}, \beta _2=(2,-1, a)^{T}
$$
（1）若向量组（I）与向量组（II）等价，求参数 $a, b, c$ ，并分别写出 $\beta _1, \beta _2$ 用 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性表示的表达式；
（2）求齐次方程组 $\left( \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3\right) x = 0$ 与 $\binom{ \beta _1^{ T }}{ \beta _2^{ T }} x = 0$ 的非零公共解．
设 $\alpha _1=(1,0,-3)^{\top}, \alpha _2=(-2,1,0)^{\top}, \alpha _3=(-1,0,1)^{\top}$ 为 $A =$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ 的特征向量．
（I）求线性方程组 $A x=\alpha_1$ 的通解；
（II）求 $(A+E)^{99}$ ．
设有二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+a x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2-2 a x_1 x_3-2 x_2 x_3$ 和 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=$ $\left(y_1+y_2-2 y_3\right)^2+\left(y_1-y_2+y_3\right)^2-\left(2 y_1-y_3\right)^2$ ，已知 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 经过非退化的线性变换 $x = C y$ 可以化为 $g \left(y_1, y_2, y_3\right)$ ，则
（I）求 $a$ ；
（II）求可逆矩阵 $C$ ．
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2-\left(x_3-x_1\right)^2$ 的正惯性指数为 $\qquad$负惯性指数为 $\qquad$ ．
设 A 为 n 阶矩阵，且 $\mathrm{A}^2=\mathrm{E}$ ，证明： $\mathrm{r}(\mathrm{A}+\mathrm{E})+\mathrm{r}(\mathrm{A}-\mathrm{E})=\mathrm{n}$ 。
设 2 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的互异特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 分别为属于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的单位特征向量．
（1）求矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}$ 的特征值；
（2）求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵；
（3）若 $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$B=A^{\top} A+\lambda E$ ，其中 $\lambda>0, E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明：B 是正定矩阵。