单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知 3 阶矩阵 $A , B$ 满足 $A B = O$ ，其中矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & -4 \\ 3 & a & 0 \\ -4 & 0 & c\end{array}\right)$ ，实对称矩阵 $B$ 每行元素之和均为 3 ，则当 $x =(1,-1,2)^{ T }$ 时，二次型 $x ^{ T } B x =(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\ b & -3\end{array}\right)$ ，下列说法
（1）若矩阵 $A , B$ 相似，则 $a=1, b=-5$ ；
（2）若矩阵 $A , B$ 合同，则 $a < -3, b=3$ ；
（3）若矩阵 $A , B$ 等价，则 $a \neq 1$ 且 $b \neq-5$ 。
正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
3 阶行列式 $D$ 的元素为 $a(a>0)$ 或 0 ，则该行列式的最大值为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} a^3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} a^3$
$\text{C.}$ $2 a^3$
$\text{D.}$ $a^3$
下列说法中：
（1）已知非零列向量 $\alpha$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解，其中 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则非齐次线性方程组 $A ^* x = \alpha$ 有解的充要条件是 $r( A )=n-1$ ；
（2）已知 $m \times n$ 矩阵 $A$ 行满秩， $B$ 为 $n \times(n-m)$ 矩阵，有 $A B = O , A \alpha = 0$ 成立，则存在唯一的列向量 $\gamma$ ，有 $B \gamma = \alpha$ 成立；
（3）已知齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 的基础解系分别为 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r r s}$ ，其中 $A , B$ 均为 $n$ 阶矩阵，两个方程组无非零公共解，则任一 $n$ 维列向量 $\eta$ 可由 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _s$ ， $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _{r-s}$ 唯一线性表示；
（4）若齐次线性方程组 $A x = 0$ 与 $B x = 0$ 同解，则存在 $n$ 阶矩阵 $C _1, C _2$ 使得 $A = C _1 B , B = C _2 A$ ．正确的个数为（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法
（1）已知 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足 $B C = O$ ，且 $r( A ) < r( C )$ ，则存在 $n$ 维非零列向量 $\alpha$ ，使得 $A \alpha =$ Bo；
（2）已知矩阵方程 $A X B = C$ 有解，其中 $A , B , C$ 分别为 $m \times n, l \times s, m \times s$ 矩阵， $X$ 为 $n \times l$ 矩阵，若 $r( A )=r( A \vdots C )=n, r( B )=r\binom{ B }{ C }=l$ ，则方程 $A X B = C$ 有唯一解；
（3）非齐次方程组 $\left(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right)\binom{ x }{ y }=\binom{ 0 }{ \beta }$ 有解的充要条件是 $r( B )>0, r( A )=r( A \vdots \beta )$ ；
（4）非齐次方程组 $A x = \beta$ 有解的充要条件是向量 $\beta$ 与齐次方程组 $A ^{ T } x = 0$ 的所有解向量正交．正确的个数为（）。
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若矩阵 $A , B$ 相似，则不一定存在矩阵 $P _1, P _2$ ，使得 $A = P _1 P _2, B = P _2 P _1$
$\text{B.}$ 若存在可逆矩阵 $P$ ，使得矩阵 $A , B$ 都可相似对角化，则 $A B = B A$ 不一定成立
$\text{C.}$ 若 $n$ 阶矩阵 $A , B$ 都满足矩阵方程 $X ^2=\lambda X (\lambda \neq 0)$ ，则矩阵 $A , B$ 相似的充要条件为 $r( A )=r( B )$
$\text{D.}$ 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵，则矩阵 $A ^{ T } A$ 的特征值均大于 0