单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{E.}$ $1$
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则 $\delta$
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调，下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}$ 存在；
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+a_n^2}$ 存在；
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan a_n$ 存在；
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-a_n^2}$ 存在。
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}=$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $f(0)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 f(x)-2 f\left(x^3\right)}{x^3}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (1+x) \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的值。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^n+3^n}=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2 n}}\right]=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n})$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^x-1}{2+2^{\frac{1}{x}}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sqrt{1+\sin \frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{|\sin x|}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3 x)^5-(1+2 x)^7}{(2 x-1)^2-1}$ 之值.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{1-\sqrt{1+x^2}}$
已知 $f\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，则 $f(x)=$
函数 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$ ，求 $f(x)$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;