单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 可经正交变换化为标准形 $2 a y_1^2$ $-3 b y_2^2$ ，则下列选项中为 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形是（ ）
$\text{A.}$ $y_1^2$ ．
$\text{B.}$ $-y_1^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x}=a x_1^2+b x_2^2+a x_3^2+2 c x_1 x_3$ ，当 $a, b, c$ 满足
$\qquad$时， $\boldsymbol{Q}$ 为正定矩阵．
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \ln \frac{\sqrt{a+x}}{2 a-x} d x(a>0)$ ．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}A x^2 e ^{-\frac{x^2}{\sigma^2}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为末知参数，满足 $\theta>0, X_1$ ， $X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本．
（I）求 $A$ ；
（II）求 $\theta^2$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_1^2$ ；
（III）求 $\theta^2$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_2^2$ ．
计算曲线积分 $I=\int_{\Gamma} \frac{(x+2)^2+(y-3)^2}{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ x+y=0 .\end{array}\right.$
计算 $I=\iint_{\Sigma}(y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在柱体 $x^2+y^2 \leqslant 2 x$ 内的部分．