单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=3 x^{3}+x^{2}|x|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为 ( )
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$
$\text{C.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{\ln x}}$
已知函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足$x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=1-e^{-x} \text {. }$
若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left(x_0 \neq 0\right)$ ，则
$\text{A.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f\left(x_0\right)$ 不是 $f(x)$ 的极值， $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
1、当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题:
(1) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$ ；
(2) 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
(3) 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ，则 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$ ；
(4) 若 $\alpha(x)-\beta(x) \sim o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.
其中所有真命题序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(4)
$\text{C.}$ (1)(3)(4)
$\text{D.}$ (2)(3)(4)
设函数 $f(t)$ 连续，令$F(x, y)=\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) \mathrm{d} t$ 则
$\text{A.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}=-\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}, \frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
设函数 $f(t)$ 连续，
$$
F(x, y)=\int_0^{x-y}(x-y-t) f(t) \mathrm{d} t
$$
则 $($ )
$\text{A.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{B.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{C.}$ $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}=-\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}, \frac{\partial^2 \boldsymbol{F}}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}=-\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}$
已知 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(1)=1, f^{\prime}(1)=-1$, 则函数 $f(x)$ 在 $(1,2)$ 内
$\text{A.}$ 有极值点, 无零点
$\text{B.}$ 无极值点, 有零点
$\text{C.}$ 有极值点, 有零点
$\text{D.}$ 无极值点, 无零点
设 $b>0>a$ ，则
$\text{A.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right)>b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{B.}$ $a e ^a\left( e ^b-1\right) < b e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{C.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right)>a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\text{D.}$ $b e ^a\left( e ^b-1\right) < a e ^b\left( e ^a-1\right)$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\pi \sqrt{1+4 n^2}\right)$
$\text{A.}$ 等于 0 .
$\text{B.}$ 等于 1 .
$\text{C.}$ 等于 -1 .
$\text{D.}$ 不存在.
设可导函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的解，并且在 $(-\infty, 0]$ 上满足 $f(x)=$ $g(x)$ ．若 $f(1)>1$ ，则 $g(x)$ 可能为 ()
$\text{A.}$ $x$ ．
$\text{B.}$ $x^2$ ．
$\text{C.}$ $x^3$ ．
$\text{D.}$ $x^4$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为
$\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ $\qquad$ $\int_a^b f^{\prime}(2 x) d x=$
若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内严格单增, 则对区间 $(a, b)$ 内任何一点 $x$ ，有 $f^{\prime}(x)>0$.
曲线 $y=x\left(1+\arcsin \frac{2}{x}\right)$ 的斜渐近线方程为
$\int 2^x \arctan \sqrt{2^x-1} d x=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发, 以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动. 物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与$A$ 同时出发, 其速度大小为 $2 v$, 方向始终指向 $A$, 试建立物体 $B$ 的运动轨迹所满足的微分方 程, 并写出初始条件.
已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导， $f(x)>0$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且满足 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}=e^{\frac{1}{x}}$, 求 $f(x)$.
已知函数 $f(x, y)$ 满足 $f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2(y+1) e^x$ ，
$$
f_x^{\prime}(x, 0)=(x+1) e^x, f(0, y)=y^2+2 y ，
$$
求 $f(x, y)$ 的极值.
讨论方程 $\left(x^2-3\right)-k e ^{-x}=0$ 根的情况, 其中 $k$ 为实数.
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1+\frac{1}{2} \int_x^1 f(y) f(y-x) d y$, 求定积分 $I=\int_0^1 f(x) d x$.
设 $f(x)=\left( e ^{x^2}-1\right) x^{-2}$ ．
（1）求 $\int f(x) d x$ ；
（2）将 $f^{\prime}(x)$ 展开为麦克劳林级数，并求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ 的和值．