填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $|a| < \frac{1}{3}$ ，求 $u(x, y, z)=a x^3-y z$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=1$ 下的最值．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算不定积分 $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \ln \frac{\sqrt{a+x}}{2 a-x} d x(a>0)$ ．
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(a-6) \sin x+x^a \cos \frac{1}{x}, & x>0, \\ a \ln (1-a x), & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导．
（1）求参数 $a$ ；
（2）令 $\varphi(x)=f(x)\left( e ^x-1\right)$ ，求 $\varphi^{\prime}(0), \varphi^{\prime \prime}(0)$ ．
已知 $0 < x < 1$ ，证明：$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x(1+x)^{\frac{1}{x}} < 4$ ．
试讨论方程 $x^2-3-k e ^{-x}=0$ 根的个数，其中 $k$ 为参数．
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^2+5 n}-\sqrt{n^2+n}\right)$ ．