单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 2 & 6\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)$
齐次线性方程组
$$
(\text { I })\left\{\begin{array}{l}
x_1+2 x_2+3 x_3=0 \\
2 x_1+3 x_2+5 x_3=0 \\
x_1+x_2+a x_3=0
\end{array}\right.
$$
和
$$
\text { ( II ) }\left\{\begin{array}{l}
x_1+b x_2+2 x_3=0 \\
2 x_1+b^2 x_2+3 x_3=0
\end{array}\right.
$$
同解，则（ ）。
$\text{A.}$ $a=1, b=2$
$\text{B.}$ $a=2, b=1$
$\text{C.}$ $a=-1, b=2$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$ \left|\begin{array}{ccccc}2 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 2 & 1 \\ & & & 1 & 2\end{array}\right|_{n \times n}=$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\alpha =\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right], \beta =\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]$, 分别计算 $\alpha \beta ^{ T }, \beta \alpha ^{ T }, \alpha \alpha ^{ T }$ 及 $\beta ^{ T } \alpha , \alpha ^{ T } \beta , \alpha ^{ T } \alpha$.
计算行列式
$$
D_4=\left|\begin{array}{cccc}
a_1 & 0 & 0 & b_1 \\
0 & a_2 & b_2 & 0 \\
0 & b_3 & a_3 & 0 \\
b_4 & 0 & 0 & a_4
\end{array}\right|
$$
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ，求 $A^n$ ．