解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y \arctan \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 讨论 $f(x, y)$在原点 $(0,0)$ 处的可微性．
（1）设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4},(x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，计算方向导数 $\frac{\partial f(0,0)}{\partial \vec{l}}$ ，其中 $\vec{l}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \alpha \in[0,2 \pi)$ 为单位向量．
（2）若一个二元函数 $g(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点取到极小值，那么 $t=0$ 是否一定是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$ 的极小值点（其中 $\alpha$ 如（1）中所示），为什么？
（3）若对任意 $\alpha \in[0,2 \pi), t=0$ 是 $h(t)=g\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)$的极小值点，那么 $\left(x_0, y_0\right)$ 是否一定是 $g(x, y)$ 的极小值点，为什么？
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定的隐函数，试求 $z=z(x, y)$ 的极值．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设一元函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b](a < b)$ 上二阶可导，满足：
$$
f(a)=f(b)=f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0
$$
且当 $x \in[a, b]$ 时，$\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$（ $M$ 为一个正数），证明：
$$
|f(x)| \leq \frac{M}{16}(b-a)^2, x \in[a, b] .
$$