单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{6}$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $e ^y+x y= e$ 所确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{ e ^2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{ e }$
$\text{D.}$ $\frac{2}{ e ^2}$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x \ln (1+x)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}=$ $\qquad$ ．
已知 $y=f\left(\frac{2 x-1}{2 x+1}\right), f^{\prime}(x)=\arctan x^2$ ，则 $y^{\prime}(0)=$
设 $y=\frac{1-x}{1+x}$ ，则 $y^{(n)}(x)=$
函数 $f(x)=x^3+3 x^2-9 x$ 的凹区间为
设 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2+x-x^2}}$ ，则 $f(x)$ 的定义域为
设 $y=\frac{1}{2} \arctan \frac{2 x}{1-x^2}$ ，则 $\frac{ d y}{d x}=$
设 $y=\sqrt[x]{x}, x>0$ ，则 $y^{\prime}=$
$y=x \ln \left( e +\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)=$
解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f\left( e ^{x^2}\right)}-\sqrt{1+3 f\left(1-\sin x^2\right)}}{\ln \cos x}$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}},(p \geqslant 1)$;
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$;
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin \frac{\pi}{2 n} \sin \frac{2 \pi}{2 n} \cdots \sin \frac{n \pi}{2 n}}$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-\cos x \cdot \cos 2 x \cdots \cos n x}{x^2}, n \in N^*$
设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足关系式 $a_1-\frac{a_2}{3}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{a_n}{2 n-1}=0$ ，证明：$a_1 \cos x+a_2 \cos 3 x+\cdots+$ $a_n \cos (2 n-1) x=0$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个实根．
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1+ e ^{\frac{2}{x}}}+\frac{\sin x}{|\ln (1+x)|}\right)=$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+\ln (1+x)}{x^2}=\frac{1}{2}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+1}{x}=$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^2+5 n}-\sqrt{n^2+n}\right)$ ．
已知函数 $y=f(x)$ 是单调可导的函数，经过点 $(2,3)$ ，函数 $y=g(x)$ 是由 $y=f(x)$ 确定的反函数．若 $f^{\prime}(2)=4$ ，求 $g^{\prime}(3)$ ．
利用皮亚诺型泰勒公式，极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}=$
已知函数 $f(x)=4 \arctan x-x+\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$ ，证明：$f(x)$ 恰有两个零点．
证明： $\tan x>x+\frac{1}{3} x^3 \quad\left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)$ ．
函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos t \\ y=t \sin t\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{ d ^2 y}{d x^2}$ ．
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x) < 1$ ，证明：
$$
F(x)=2 x-1-\int_0^x f(t) d t
$$
在区间 $(0,1)$ 内只有一个零点．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x\left[(1+x)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{1-\cos x}$ ；
求极限： $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+x^2\right)-x}{ e ^{\cos x}- e } $
（1）求齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的通解；
（2）给出非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=x e ^x+\sin x$ 的特解形式。
$\int \frac{ d x}{x^4 \sqrt{1-x^2}}$.
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，在区间 $[a, b]$ 上定义函数
$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} d t
$$
证明：方程 $F(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内只有一个根．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上连续，在 $(1,2)$ 内可导，且 $f(2)=0$ ．证明：至少存在一点 $\xi \in(1,2)$ 使得
$$
\xi \ln (\xi) f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0
$$