单选题 （共 19 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\int_{0}^{\sin x} \sin \left(t^{2}\right) d t, g(x)=x^{3}+x^{4}$ 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小
$\text{B.}$ 同阶但非等价无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 低阶无穷小
$x \rightarrow 0$ 时， $x-\sin x$ 是 $x^2$ 的
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 高阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶但不等价的无穷小
当 $x \rightarrow 1$ 时，函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} e^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2
$\text{B.}$ 等于 0
$\text{C.}$ 为 $\infty$
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量
$\text{A.}$ $x^2$
$\text{B.}$ $1-\cos x$
$\text{C.}$ $\sqrt{1-x^2}-1$
$\text{D.}$ $x-\tan x$
当 $x \rightarrow 0$ 时，变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷小
$\text{B.}$ 无穷大
$\text{C.}$ 有界的，但不是无穷小量
$\text{D.}$ 无界的，但不是无穷大
设当 $x \rightarrow 0$ 时， $e^x-\left(a x^2+b x+1\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$
$\text{B.}$ $a=1, b=1$
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
设 $\alpha(x)=\int_0^{5 x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t, \beta(x)=\int_0^{\sin x}(1+t)^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 同阶但不等价的无穷小
$\text{D.}$ 等价无穷小
设当 $x \rightarrow 0$ 时， $(1-\cos x) \ln \left(1+x^2\right)$ 是比 $x \sin x^n$ 高阶的无穷小， $x \sin x^n$ 是比 $\left(e^{x^2}-1\right)$ 高阶的无穷小，则正整数 $n$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
函数 $f(x)=\frac{|x| \sin (x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}$ 在下列哪个区间内有界
$\text{A.}$ $(-1,0)$
$\text{B.}$ $(0,1)$
$\text{C.}$ $(1,2)$
$\text{D.}$ $(2,3)$
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设 $\alpha_1=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}, \alpha_2=\int_0^{x^4} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} d t, \alpha_3=\int_0^x d u \int_0^{u^2} \arctan t d t$. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
若 $x \rightarrow 0$ 时 $\frac{\cos x+\ln (1+x)}{1+x}=1+a x+b x^2+o\left(x^2\right)$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $a=0, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=0$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零. 若当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, ( )
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left(e^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
在 $x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量中与 $x$ 等价的是
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$.
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$.
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\sin \frac{\pi}{2} x, & x \leqslant 1, \\ 2-\sqrt{x-1}, & x>1 .\end{array}\right.$ 对 $f(x)$ 给出两个命题: (1) 点 $x=1$ 是 $f(x)$ 的一个极值点；(2) 点 $(1,2)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一个拐点. 则
$\text{A.}$ (1) 和 (2) 都正确.
$\text{B.}$ (1) 正确, 但 (2) 不正确.
$\text{C.}$ (1) 不正确, 但 (2) 正确.
$\text{D.}$ (1) 和 (2) 都不正确.
设 $f(x)$ 二阶可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x^2}=\frac{1}{4}, \alpha=\int_0^{\frac{{e^x}^2-1}{1+2 x}} \frac{1-\sqrt{\cos t}}{\sin t} d t, \beta=f(x)-f(\sin x)$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时
$\text{A.}$ $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小
$\text{B.}$ $\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小
$\text{C.}$ $\alpha$ 是 $\beta$ 的同阶非等价的无穷小
$\text{D.}$ $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \beta_1(x), \beta_2(x)$ 都是非零无穷小量，且 $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ ， $\beta_1(x) \sim \beta_2(x)$ ，则下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_2(x)-\beta_2(x)=o\left(\alpha_2(x)\right)$ ．
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1(x)-\beta_1(x)=o\left(\alpha_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_2(x) \sim \beta_2(x)$ ．
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1(x)=o\left(\beta_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
已知 $\alpha(x)=\left(\frac{x^3+x^4}{x^2+x^4+1}\right)^{\frac{1}{3}}-\ln (1+x), \beta(x)=x^3 \ln |x|, \gamma(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，按无穷小阶数由高到低的顺序排列为（ ）。
$\text{A.}$ $\alpha(x), \beta(x), \gamma(x)$
$\text{B.}$ $\beta(x), \gamma(x), \alpha(x)$
$\text{C.}$ $\gamma(x), \beta(x), \alpha(x)$
$\text{D.}$ $\gamma(x), \alpha(x), \beta(x)$
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{x} \int_0^x \frac{t^4+2}{\left(t^2+1\right)^2} d t\right]^{2 x}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $e ^{\frac{\pi}{4}}$
$\text{B.}$ $e ^{\frac{\pi}{2}}$
$\text{C.}$ $e ^{-\frac{\pi}{2}}$
$\text{D.}$ $e ^{-\frac{\pi}{4}}$
填空题 （共 12 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+3 x)^{\frac{2}{\sin x}}=$
函数 $y=x+2 \cos x$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=$
求下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^2+5}{5 x+3} \sin \frac{2}{x}=$
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty}[\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}]=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x+x^2 \cos \frac{1}{x}}{(1+\cos x) \ln (1+x)}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \tan x}\right)=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-e^{\tan x}}{\arcsin \frac{x}{2}}, & x>0 \\ a e^{2 x}, & x \leq 0\end{array}\right.$ ，在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$
$\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}[1+\ln (1+x)]^{\frac{2}{x}}=$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)=k x^2$ 与
$$
\beta(x)=\sqrt{1+x \arcsin x}-\sqrt{\cos x}
$$
是等价无穷小，则 $k=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{(-1)^n}=$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3+x^2+1}{2^x+x^3}(\sin x+\cos x)=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^{2}}}$.
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$
求 $\lim _{x \rightarrow-\infty} x\left(\sqrt{x^2+100}+x\right)$.
设 $f(x)$ 可导，且 $F(x)=\int_0^x t^{n-1} f\left(x^n-t^n\right) \mathrm{d} t$ ， $f(0)=0$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)}{x^{2 n}}$.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$.
若 $x \rightarrow 0$ 时， $\left(1-a x^2\right)^{\frac{1}{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$
试确定 $A, B, C$ 的常数值，使得
$$
e^x\left(1+B x+C x^2\right)=1+A x+o\left(x^3\right)
$$
其中 $o\left(x^3\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^3$ 的高阶无穷小量.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x+b x^2\right) \sqrt{1+x}-c}{(1-\cos x) \arctan x}=d$, 求常数 $a, b, c, d$ 的值.