单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
（3）设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且以 $T$ 为周期，则下列函数中，不一定以 $T$ 为周期的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left[f\left(\frac{t}{2}\right)-f(t)\right] d t$
$\text{B.}$ $\int_0^x[f(t)-f(2 t)] d t$
$\text{C.}$ $\int_0^x[f(2 t)-f(3 t)] d t$
$\text{D.}$ $\int_0^x f(2 t) d t-\frac{x}{T} \int_0^T f(t) d t$
设曲面 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 介于 $z=-2$ 和 $z=2$ 之间的一部分，则曲面积分
$$
\iint_{\Sigma}\left(x^2+y z+y^2\right) d S=\left[\begin{array}{ll} \end{array}\right]
$$
$\text{A.}$ $2 \pi$ ．
$\text{B.}$ $4 \pi$ ．
$\text{C.}$ $6 \pi$ ．
$\text{D.}$ $8 \pi$ ．
设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & 0 \leq|x| < \frac{\pi}{2}, \\ \sin x, & \frac{\pi}{2} \leq|x| \leq \pi,\end{array}\right.$ 则它的傅里叶级数在 $x=\frac{3 \pi}{2}$ 处收敛于
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ -1 ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ ．
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$ ．
设有两个数列 $\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty},\left\{b_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛．
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散．
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛．
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散．
多选题 （共 2 题 ），每题有多个选项正确
设两个凸八面体 $O_1, O_2$ 的每个面都是三角形, 且 $O_1$ 在 $O_2$ 的内部. 记 $O_1\left(O_2\right)$ 的棱长之 和为 $\ell_1\left(\ell_2\right)$. 当我们计算 $\ell_1 / \ell_2$ 时, 可能得到以下哪个(些)值? (多选题)
$\text{A.}$ 0.64
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 1.44
$\text{D.}$ 1.96
$\text{E.}$ 4
某个城市有 10 条东西向的公路和 10 条南北向的公路, 共交于 100 个路口. 小明从某 个路口驾车出发, 经过每个路口恰一次, 最后回到出发点. 在经过每个路口时, 向右转不需 要等待, 直行需要等待 1 分钟, 向左转需要等待 2 分钟. 设小明在路口等待总时间的最小可能 值是 $S$ 分钟, 则
$\text{A.}$ $S < 50$;
$\text{B.}$ $50 \leq S < 90$;
$\text{C.}$ $90 \leq S < 100$;
$\text{D.}$ $100 \leq S < 150$;
$\text{E.}$ $S \geq 150$.
判断题 （共 2 题 ）
设 $A(\lambda), B(\lambda)$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵, 则 $A(\lambda), B(\lambda)$ 等价的充分必要条件为 $A(\lambda), B(\lambda)$ 有相同的初等因子组.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换, 则 $\sigma$ 是正交变换的充分必要条件是对任意的 $\alpha, \beta \in V$, 有 $\langle\alpha, \beta\rangle=\langle\sigma(\alpha), \sigma(\beta)\rangle$, 其中 $\langle\alpha, \beta\rangle$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right], b =\left[\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ ．已知线性方程组 $A x = b$ 存在两个不同的解．
（1）求 $\lambda, a$ ；
（2）求方程组 $A x = b$ 的通解．
设 $A , P$ 均为 3 阶矩阵， $P =\left[\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right]$ ，其中 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 为 3 维列向量且线性无关，若 $A \left[\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right]=\left[\gamma_3, \gamma_2, \gamma_1\right]$ ，求矩阵 $A$ 的特征值与特征向量．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_1^2+4 x_2^2+3 x_3^2+2 x_1 x_3$ ． 求正交变换 $x = Q y$ 将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形；