解答题 （共 27 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin p x-\cos p x}$ ( $p$ 为常数, $p \neq 0$ ).
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{5}{3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 \times 3^n+3 \times(-2)^n}{3^n}$.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 a^n+2(-b)^n}{3 a^{n+1}+2(-b)^{n+1}}$. (其中 $a>b>0$ ).
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x(1+\sqrt{x})^n+\sqrt{x}+1}{(1+\sqrt{x})^n+1}$ 的表达式, 其中 $x \geq 0$.
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{1+x^n}$ 的表达式.
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[x+\frac{x}{1+x^2}+\frac{x}{\left(1+x^2\right)^2}+\cdots+\frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\right]$ 的表达式
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+2}+x^{-n-1}}{x^n+x^{-n}}$ 的表达式.
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n})$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x \cdot \arcsin \frac{1}{x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[\cos \ln (1+x)-\cos \ln x]$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{|\sin x|}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3 x)^5-(1+2 x)^7}{(2 x-1)^2-1}$ 之值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left[\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{x}}-1\right]$ 之值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[(1+x \sin x)^x-1\right]}{x^3}$ 之值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[(\cos x)^{\sin x}-1\right]}{x^3}$ 之值.
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(a+b) x+b}{\sqrt{3 x+1}-\sqrt{x+3}}=4$, 试确定 $a, b$ 之值.
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n, a, b>0$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n!} \sin \frac{1}{n}$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$;
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n+1)}$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1+ e ^{\frac{2}{x}}}+\frac{\sin x}{|\ln (1+x)|}\right)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}[\cos x+\sin x-\ln (1+x)]^{\frac{1}{x^3}}$ ．
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^2+5 n}-\sqrt{n^2+n}\right)$ ．
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．