单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为正项级数，下列结论中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛．
$\text{B.}$ 若存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散．
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 a_n=0$ ．
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n=\lambda$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）（）
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 有关
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\int_0^x e ^{t^2} d t$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_0=0$ 处的 Taylor 级数为
设函数 $f(y)$ 可微，且 $\int_{L(A)}^{(B)}\left(z^2 f(y)+ e ^x\right) d x+\left(x z^2+\cos y\right) d y+(2 x y z-z) d z$ 与路径无关，则 $f(y)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求积分 $I=\iint_D \sqrt{y^2-x y} d x d y$ ，其中区域 $D$ 是由 $x=0, y=1, y=x$ 围成。
求曲线积分 $I=\int_L\left(x^2+y\right) d s$ 其中 $L:\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=1 \\ y+2 z=1\end{array}\right.$
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), A-2 B=A B$ ，求矩阵 $B$
求齐次方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2=0 \\ 2 x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ 5 x_1+3 x_2+2 x_3+2 x_4=0\end{array}\right.$ 的通解。
在 $R^3$ 中，求由基底 $\alpha_1=(1,1,0), \alpha_2=(1,0,1), \alpha_3=(0,1,1)$到基底 $\beta_1=(1,0,0), \beta_2=(1,1,0), \beta_3=(1,1,1)$ 的过渡矩阵。
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 4 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 6\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T A Q$ 为对角矩阵。
求 $a$ 的取值范围，使得 $A=\left(\begin{array}{ccc}2-a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a+3\end{array}\right)$ 是正定矩阵。