单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
下列曲面方程中，表示柱面的是
$\text{A.}$ $x^2-2 y^2=1$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=z$
$\text{C.}$ $x^2-2 y^2=z^2$
$\text{D.}$ $x^2-y^2=z$ ．
设 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数均存在是 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处可微的
$\text{A.}$ 必要而非充分条件
$\text{B.}$ 充分而非必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件
将累次积分 $I=\int_0^1 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$ 更换积分次序后为
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{1-x} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{1-x} d y \int_0^1 f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{1-y} f(x, y) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d y \int_0^1 f(x, y) d x$
已知二元函数 $f(x, y)=\frac{ e ^x}{x-y}$ ，下列式子正确的是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
二元函数 $z=3(x+y)-x^3-y^3$ 的极值点是 ( ).
$\text{A.}$ $(1,2)$;
$\text{B.}$ (1.-2);
$\text{C.}$ $(-1,2)$;
$\text{D.}$ $(-1,-1)$.
下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{1}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n \pi$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^n}{(n+1)^n}$ ．
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$ 。
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$.
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$.
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$.
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）（）
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 有关
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $z=\arcsin (x y)$, 则 $d z=$.
设二重积分的积分区域 D 是由 $4 \leq x^2+y^2 \leq 9$ 围成, 则 $\iint_D d x d y=$.
交换积分次序：
$$
\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_{\frac{1}{y}}^2 f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_y^2 f(x, y) d x=
$$
设 $D$ 是由直线 $x=0, y=0$ 和 $x+y=\frac{1}{2}$ 所围成的区域，则积分 $I_1=\iint_D \ln (x+y) d x d y$ 与 $I_2=\iint_D(x+y) d x d y$ 的大小是：$I_1$ $\qquad$ $I_2$ ．
极限 $ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\ln \left(1+x^2+y^2\right)}{2\left(x^2+y^2\right)}=$
设 $z=\arctan \left(x y^2\right)$ ，则 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(0,1)}=$
设 $f(x, y, z)=e^x y z^2$, 其中 $z=z(x, y)$ 是由 $x+y+z+x y z=0$ 确定的隐函数, 则$f_x(0,1,-1)=$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 3，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^{n+1}$ 的收敛区间为 $\qquad$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$ 是 $\qquad$的．（绝对收敛、条件收敛、发散）
常微分方程 $y^{\prime}+2 x y=2 x$ 的通解为。
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ 的通解．
设函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是由方程 $e^{2 x+y}-\cos (x y)=e-1$ 所确定的隐函数, 求导 数 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}$
计算 $\iint_D(x+y) d x d y$ ，其中 $D$ 是由抛物线 $y^2=x$ 及直线 $y=-x+2$ 所围成的闭区域。
求函数 $z=x^3+y^3-3 x^2-3 y^2$ 的极值．
设 $z=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $d z$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性, 并指出是条件收敛还是绝对收敛。
将函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 展开成 $(x-3)$ 的幂级数．
已知某曲线经过点 $(1,1)$ ，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．