判断题 （共 3 题 ）
若 $n$ 阶行列式不等于零, 则它的所有 $n-1$ 阶子式可以都为零
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵, $B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 则 $R(A) < R(A B)$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若存在正整数 $k$ 使 $A^k=O$, 则 $A$ 的特征值只能是 0 .
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=t\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2$ 为正定二次型, 则参数 $t$ 的取值范围为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 1 \\ 8 & -5 & 2 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 只有一个线性无关的特征向量.
(I) 求 $a$ 的值以及 $A$ 的全部特征向量;
(II) 若 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量, 且 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_2=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3$, 证明: $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$, $\alpha_3$ 线性无关.
已知两个线性变换
$$
\left\{\begin{array} { l }
{ x _ { 1 } = 2 y _ { 1 } + y _ { 3 } , } \\
{ x _ { 2 } = - 2 y _ { 1 } + 3 y _ { 2 } + 2 y _ { 3 } } \\
{ x _ { 3 } = 4 y _ { 1 } + y _ { 2 } + 5 y _ { 3 } , }
\end{array} \left\{\begin{array}{l}
y_1=-3 z_1+z_2, \\
y_2=2 z_1+z_3, \\
y_3=-3 z_3,
\end{array}\right.\right.
$$
求从 $z_1, z_2, z_3$ 到 $x_1, x_2, x_3$ 的线性变换.