单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列级数中绝对收敛的是 ( )。
$\text{A.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln (1+n)}$
$\text{B.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{n^3-1}{n^2+2}$
$\text{C.}$ $\sum_1^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+1}{n^3-2 n+1}$
$\text{D.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n n}{\sqrt{3^n}} \sin n$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为正项级数，下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 u_n=0$
$\text{C.}$ 若存在非零常数 $\lambda$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=\lambda$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，则存在非零常数 $\lambda$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n=\lambda$
设常数 $\alpha>2$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\ln n!}{n^\alpha} $ ．
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 有关
设 $u_n \neq 0(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 敛散性不定
设有两个数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ ，若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则
$\text{A.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛
$\text{B.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 发散
$\text{C.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 收敛
$\text{D.}$ 当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_n\right|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 b_n^2$ 发散
以下说法正确的是
$\text{A.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2015}$ 绝对收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^{2014}$ 条件收敛
设 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n 2^n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$
$\text{A.}$ 条件收敛
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不定
设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在点 $x=-1$ 处收敛，则在点 $x=2$ 处级数是
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散不定
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，而
$$
s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x d x, n=0,1,2, \cdots$ ，则 $s\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{1}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n \pi$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} n^n}{(n+1)^n}$ ．
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
广义积分 $\int_0^1 \frac{(-\ln x)^p}{\sqrt{x}(1-x)^2} d x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围为
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^3+2^3+\cdots+n^3}{n\left(1^2+2^2+\cdots+n^2\right)}=$
函数 $f(x)=e^{2 x}$ 在点 $x=0$ 的幕级数展开式为
解答题 （共 27 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的可导函数，且导函数 $f^{\prime}$ 处处连续，假设 $\int_0^{+\infty} f^2(x) d x$ 与 $\int_0^{+\infty}\left[f^{\prime}(x)\right]^2 d x$ 均收敛，
证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$.
设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $f(x)>0 ， x \in[a, b]$.证明 $\lim _{p \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{b-a} \int_a^b f^p(x) d x\right)^{\frac{1}{p}}=\exp \left\{\frac{1}{b-a} \int_a^b \ln f(x) d x\right\}$其中 $\exp (t)=e^t$ 表示指数函数
设 $f_n(x)=n^\alpha \cdot x e^{-n x},(n=1,2, \cdots)$ ，问:
(1) 当 $\alpha$ 为何值时， $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛?
(2) 当 $\alpha$ 为何值时， $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛?
(3) 当 $\alpha$ 为何值时，以下等式成立?
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 \lim _{n \rightarrow+\infty} f_n(x) \mathrm{d} x $
解答如下问题:
(1) 叙述 $\mathbb{R}^n$ 上的有限覆盖定理.
(2) 设对任意的 $x_0 \in[a, b]$ ，有 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0$ ，证明:
$f(x) \in \mathbb{R}[a, b] \text { 且 } \int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0 $
证明: 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上点点收敛，但并非一致收敛.
(1) 证明: 狄利克雷积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin (\alpha x)}{x} \mathrm{~d} x$ 在不含数值 $\alpha=0$ 的每一个闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛，在每一个包含数值 $\alpha=0$ 的闭区间 $[a, b]$ 上非一致收敛.
(2) 已知 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ，求 $F(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2(x t)}{t^2} \mathrm{~d} t$ ，其中 $\boldsymbol{x}>\mathbf{0}$.
$f(x)$ 为 $[0,2]$ 上的 $C^2$ 函数, 且 $f(0)=f(2)=0$, 证明:
$$
\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{2}{3} \max _{x \in[0,2]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|
$$
已知正切函数的泰勒展开式为: $\tan x=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+o\left(x^5\right)$
计算 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{\frac{1}{x}}-e^2\left(1+\frac{4}{3} x^2\right)}{x^4}$
设 $f(x)= \begin{cases}x^2, & -1 \leq x \leq 0, \\ x-1,0 < x \leq 1,\end{cases}$
$$
a_n=\int_{-1}^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots .
$$
求函数 $f(x)$ 对应的以周期为 2 的傅里叶级数在 $[-1,1]$ 上的和函数并求 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n$.
设 $S(x)$ 为幂级数
$$
x+\frac{x^3}{1 \cdot 3}+\frac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!!}+\cdots
$$
的和函数.
(1) 求 $S(x)$ 的定义域;
(2) 证明 $S(x)$ 满足微分方程初值问题
$$
S^{\prime}(x)-x S(x)=1, \quad S(0)=0 ；
$$
(3) 写出 $S(x)$ 的积分表达式.
设 $s \geqslant 0$, $\varphi(s)=\int_0^{+\infty} \frac{\ln \left(1+s x^2\right)}{x\left(1+x^2\right)} d x$
求 $\varphi(1)$ 和 $\varphi(2)$.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2}(2 x)^n$ 的收敛区域.
设函数 $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$,
(1) 将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求收敛域; (2) 利用展开式求 $f^{(101)}(0)$.
求 $f(x)=\frac{1}{x^2+3 x+2}$ 在点 $x=-4$ 处的 Taylor 级数。
验证函数 $y=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\cdots(-\infty < x < +\infty)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=e^x$,并用此结果求 $\sum_0^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数。
设 $x \in(0,1)$ ，证明
（I）对任意正整数 $n$ ，都有 $\frac{n^x \cdot n!}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)} < 1$ ；
（II） $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^x \cdot n!}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)}$ 存在（有限）．
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{\frac{4}{3}}}$ ；
判断 敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n!}{n^n}(a>0)$ ；
判断敛散性 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$ ．
判断 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^2+a^2}\right)$ 敛散性
判别级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\left[n+(-1)^n\right]^p}(p>0)$ 的敛散性（包括绝对收敛或条件收敛）．
判定 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 \tan \frac{\pi}{2^n} \sin (n!)$ 的敛散性．
设极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_n$ 存在，证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛．
求$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n}\left(\frac{3 x-1}{2 x+1}\right)^n$ 收敛域
求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^x}$ 收敛域
求收敛域及收敛半径 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n+(-3)^n} x^{2 n-1}$ ；
求收敛域及收敛半径 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n}{2^n}(x-1)^{2 n}$ ；