单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 等于
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a)$.
$\text{B.}$ $2 f^{\prime}(a)$.
$\text{C.}$ 0 .
$\text{D.}$ $f^{\prime}(2 a)$.
行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 1 & x-1 \\
1 & -1 & x+1 & -1 \\
1 & x-1 & 1 & -1 \\
x+1 & -1 & 1 & -1
\end{array}\right|
$$
得值
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $x^4$
$\text{D.}$ $x^4-1$
若函数 $f(x)=x^2+2 \ln x$ 的图象在 $(a, f(a))$ 处的切线与直线 $x+5 y-5=0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 2 或 $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1 或 $\frac{1}{2}$
下列曲面方程中，表示柱面的是
$\text{A.}$ $x^2-2 y^2=1$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=z$
$\text{C.}$ $x^2-2 y^2=z^2$
$\text{D.}$ $x^2-y^2=z$ ．
函数 $f(x)=x^4-2 x^3$ 的图像在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 ()
$\text{A.}$ $y=-2 x-1$
$\text{B.}$ $y=-2 x+1$
$\text{C.}$ $y=2 x-3$
$\text{D.}$ $y=2 x+1$
若 $f(x)=e^x \ln 2 x$ ，则 $f^{\prime}(x)=(\quad)$
$\text{A.}$ $e^x \ln 2 x+\frac{e^x}{2 x}$
$\text{B.}$ $e^x \ln 2 x-\frac{e^x}{x}$
$\text{C.}$ $e^x \ln 2 x+\frac{e^x}{x}$
$\text{D.}$ $2 e^x \cdot \frac{1}{x}$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A B$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=2,|B|=3$, 则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
已知方程组 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & a+2 \\ 1 & a & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$ 无解, 则 $a=$
$A=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$, 则 $(A-4 E)^{-1}=$
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 8 & 27 & 64 & 125\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$, 则 $A^{\prime} X=\beta$ 的解是
设 $A$ 是 6 阶方阵, $\mathrm{r}(A)=4$, 那么 $\mathrm{r}\left(A^*\right)=$
$\left|\begin{array}{cccc}
1 & b_1 & 0 & 0 \\
-1 & 1-b_1 & b_2 & 0 \\
0 & -1 & 1-b_2 & b_3 \\
0 & 0 & -1 & 1-b_3
\end{array}\right|=$
若 $f^{\prime}(3)=4$ ，则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{2 h}=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+x_2+\quad x_3+x_4 & =0, \\
x_2+2 x_3+2 x_4 & =1, \\
-x_2+(a-3) x_3-2 x_4 & =b, \\
3 x_1+2 x_2+\quad x_3+a x_4 & =-1 .
\end{aligned}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多解? 并在有解时, 求线性方程组的解(用向量表示)
$y=e^x(\sin x+\cos x)$ ，求 $y^{\prime}$