单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
在空间直角坐标系下, 下列曲面方程中为平面方程的是
$\text{A.}$ $y-2 x^2=0$
$\text{B.}$ $x^2+y^2-z+1=0$
$\text{C.}$ $2 x+y+6 z+5=0$
$\text{D.}$ $\sin x-x y=0$
下列曲面方程中，表示柱面的是
$\text{A.}$ $x^2-2 y^2=1$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=z$
$\text{C.}$ $x^2-2 y^2=z^2$
$\text{D.}$ $x^2-y^2=z$ ．
设 $y_1(x), y_2(x)$ 是一阶非齐次线性方程 $y^{\prime}(x)+p(x) y(x)=f(x)$ 的两个不相同的特解，则 $y^{\prime}(x)+p(x) y(x)=f(x)$ 的通解是
$\text{A.}$ $y_1(x)+y_2(x)$
$\text{B.}$ $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$
$\text{C.}$ $C\left(y_1(x)-y_2(x)\right)+y_1(x)$
$\text{D.}$ $y_1(x)-y_2(x)$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
求函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$
解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\ln \left(x y+\frac{x}{y}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=4$ 所围成的闭区域.
求两平行平面 $\pi_1: 4 x-3 y+12 z-11=0$ 与 $\pi_2: 4 x-3 y+12 z+15=$ 0 之间的距离。
设方程 $2 x^3-6 x y+3 y^2+\frac{1}{e} z \ln z=0$ 确定了 $z=z(x, y)$, 求 $z(x, y)$ 的极值.
设直线 $L$ 经过点 $M(1,-2,0)$ 且与两条直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\ x-y+3 z=5\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\ y=1-4 t \\ z=3\end{array}\right.$ 都垂直, 则 $L$ 的参数方程为
计算二重积分 $\iint_D x e^y d \sigma$, 其中 $D$ 是由 $y=\ln (x+1) 、 x$ 轴, $x=2$ 所围成的区域.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^z-z$ 所确定, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
设 $z=f(x+y, x y)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $d z$
求二元函数 $f(x, y)=x^3-4 x^2+2 x y-y^2+1$ 的极值
求极限$\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\left(x^2+y^2\right) \sin \left(x y^2\right)}{1-\cos \left(x^2+y^2\right)}$
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}$
设 $e^z-x y z=0$ ，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ ．
求函数 $f(x, y)=\left(3 x^3-y\right) e ^{x-y}$ 的极值．
设 $u=x^{y^z}$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$
设 $z=\left(x^2+y^2\right) e ^{-\arctan \frac{y}{x}}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $d z$
设 $z=f\left(x y, x^2+y^2\right), y=\varphi(x), f$ 可求偏导，$\varphi$ 可导，求 $\frac{ d z}{d x}$ ．
求函数 $z=x^3+y^3-3 x^2-3 y^2$ 的极值．
设某厂生产甲乙两种产品，产量分别为 $x, y$（千只），其利润函数为
$$
L(x, y)=-x^2-4 y^2+8 x+24 y-15 .
$$
如果现有原料 15000 千克（不要求用完），生产两种产品每千只都需要原料 2000 千克，求
（1）使利润最大的 $x, y$ 和最大利润；
（2）如果原料降至 12000 千克，求这时利润最大的产量和最大利润．
求曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=a^2(a>0) \\ x^2+y^2=a x\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面和 $x O z$ 面上的投影曲线方程．
求原点 $(0,0,0)$ 在平面 $\Pi: x+y+z=1$ 上的投影点的坐标．
求方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=x$ 的通解