解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_1=2, a_{n+1}=2+\frac{1}{a_n}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(2 x)-f(x)}{x}=a, a \in R$. 证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f^{\prime}(0)=a$.
计算定积分 $\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x \cdot \arctan \mathrm{e}^x}{1+\cos ^2 x} \mathrm{~d} x$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上具有连续导数，且
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\} .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
(2) 若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设平面区域 $D$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上投影区间的长度分别为 $l_x$ 和 $l_y, S_D$ 表示平面区域 $D$ 的面积， $(\alpha, \beta)$ 为 $D$ 内任意一点，证明:
(1) $\left|\iint_D(x-\alpha)(y-\beta) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq l_x l_y S_D$ ；
(2) $\left|\iint_D(x-\alpha)(y-\beta) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{l_x^2 l_y^2}{4}$.
设 $\Omega: x^2+y^2+2 z^2 \leq x+y+2 z$, 计算三重积分
$$
I=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} V
$$
已知 $S$ 是空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+3 y^2=1, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转生成的椭球面的 上半部分 $(z \geq 0)$ ， 取上侧， $\Pi$ 是 $S$ 在 $P(x, y, z)$ 点处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 是原点到切平面 $\Pi$ 的距离， $\lambda, \mu, v$ 表示 $S$ 的正法向的方 向余弦，计算:
(1) $\iint_S \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$;
(2) $\iint_S z(\lambda x+3 \mu y+v z) \mathrm{d} S$.
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足
$$
f(x)=\sin x+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t ，
$$
判定级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 敛散性.
计算不定积分 $\int \frac{x \cos ^4 \frac{x}{2}}{\sin ^3 x} \mathrm{~d} x$.
设 $D$ 是由 $x$ 轴， $y$ 轴和直线 $x+y=2$ 所围成的区域，计算
$$
I=\iint_D e^{\frac{y-x}{y+x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
设函数 $f(x)$ 是一个非负的连续函数，且满足方程
$$
f(x) f(-x)=1, x \in(-\infty,+\infty)
$$
计算积分 $I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+f(x)} \mathrm{d} x$.
设 $\forall x \in(-\infty, \infty), f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 且 $0 \leq f(x) \leq 1-e^{-x^2}$ ， 求 $f(x)$.
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^n \cdot \sqrt{n}}{n!e^n}$.
若函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续且单调增加，证明:
$$
\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
证明: 当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\frac{1}{n \ln n}-\sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2 \ln k}$ 与 $\frac{1}{n(\ln n)^2}$是等价无穷小.
证明级数 $\lim _{\substack{n \rightarrow \infty \\ m \rightarrow \infty}} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n(-1)^{i+j} \frac{1}{i+j}=\ln 2-\frac{1}{2}$.
设 $F(x, y, z)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中有连续的一阶偏导数 $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}, \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}$, $\frac{\partial F}{\partial z} ，$ 并满足不等式
$$
y \frac{\partial F}{\partial x}-x \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z} \geq \alpha>0, \forall(x, y, z) \in \mathbb{R}^3
$$
其中 $\alpha$ 是常数. 试证明当 $(x, y, z)$ 沿着曲线
$$
\Gamma: x=-\cos t, y=\sin t, z=t, t \geq 0
$$
趋向无穷远时， $F(x, y, z)$ 也趋向无穷大.
设 $x>-1$ 时，可微函数 $f(x)$ 满足条件
$$
f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{x+1} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=0
$$
且 $f(0)=1$. 证明: 当 $x \geq 0$ 时， $e^{-x} \leq f(x) \leq 1$
设 $A$ 是 3 阶矩阵, $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是 3 维列向量, 其中 $\alpha _3 \neq 0$, 若 $A \alpha _1= \alpha _2, A \alpha _2= \alpha _3, A \alpha _3= 0$.
（I）证明： $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 线性无关；
（II）求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量;
（III）若 $\alpha _1=(0,1,0)^{ T }, \alpha _2=(1,0,0)^{ T }, \alpha _3=(0,0,1)^{ T }$ ，求 $A , A ^3$ 和 $( A + E )^3$ 。
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$ 经可逆线性变换 $x = P y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+5 y_2^2+8 y_3^2+4 y_1 y_2-4 y_1 y_3-4 y_2 y_3$, 求 $a$ 与矩阵 $P$.