解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y_1(x)=(-1)^{n+1} \frac{1}{3(n+1)^2}(n \pi \leq x < (n+1) \pi)$ ， $n=0,1,2, \cdots, y_2(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-y=e^{-x} \sin x$ 满足条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=-\frac{1}{3}$ 的特解，求广义积分
$$
\int_0^{+\infty} \min \left\{y_1(x), y_2(x)\right\} d x
$$
设 $A=\iint_S x^2 z d y d z+y^2 z d z d x+x z^2 d x d y$ ，其中 $S$ 是曲面 $a z=x^2+y^2(0 \leq z \leq a)$ 的第一卦限部分上侧，求满足 $f(0)=A, f^{\prime}(0)=-A$ 的二阶可导函数 $f(x)$ ，使得 $y\left(f(x)+3 e^{2 x}\right) d x+f^{\prime}(x) d y$ 是某个二元函数的全微分．