解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $I=\iint_{\Sigma} 4 x z d y d z-2 z y d z d x+\left(1-z^2\right) d x d y, \sum$ ：由平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}z= e ^y \\ x=0\end{array}, 0 \leqslant y \leqslant a\right.$ 绕 $z$ 轴旋转所得旋转面，取下侧．
计算 $I=\iint_{\Sigma} \frac{ e ^z}{\sqrt{x^2+y^2}} d x d y, \Sigma$ ：由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与两平面 $z=1, z=2$ 所围形体表面，取外侧．
设均匀平面薄板 $D$ 由 $x^2 \leqslant y \leqslant 1$ 的确定，求该薄板关于过 $D$ 的重心和点 $(1,1)$ 的直线的转动惯量．
设有半径为 $R$ 的球体，$P_0$ 是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 $P_0$ 距离的平方成正比（比例系数 $k>0$ ），求球体重心的位置。
设位于点 $(0,1)$ 的质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力大小为 $\frac{k}{r^2}(k>0, r$ 为质点 $A$ 与 $M$ 之间的距离），质点 $M$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 自点 $B(2,0)$ 运动到点 $O(0,0)$ ，求在此运动过程中质点 $A$ 对质点 $M$ 的引力所作的功．
向量场 $u (x, y, z)=x y^2 i +y e ^z j +x \ln \left(1+z^2\right) k$ 在点 $P(1,1,0)$ 处的散度 $\operatorname{div} u =$ $\qquad$