单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=x \sin \frac{1}{x}$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\infty$
$\text{D.}$ 不存在
$x=0$ 是函数 $f(x)=\arctan \frac{1}{x}$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 连续点
$\text{D.}$ 无穷间断点
当 $x \rightarrow 0$ 时,变量 $\frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}$ 是
$\text{A.}$ 无穷小.
$\text{B.}$ 无穷大.
$\text{C.}$ 有界的, 但不是无穷小.
$\text{D.}$ 无界的, 但不是无穷大.
函数 $f(x)=x \sin x$
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时为无穷大.
$\text{B.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界.
$\text{C.}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界.
$\text{D.}$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时有有限极限.
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\ln (1+x)$ 与 $x$ 比较是 ( ).
$\text{A.}$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ 等价的无穷小
$\text{C.}$ 同阶的无穷小
$\text{D.}$ 低阶的无穷小
函数 $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$, 则 $x=3$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 无穷间断点
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ 的极限为 ( )。
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ $\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 不存在
$x=0$ 是函数 $f(x)=\frac{\arctan x}{x}$ 的
$\text{A.}$ 连续点;
$\text{B.}$ 可去间断点;
$\text{C.}$ 跳跃间断点;
$\text{D.}$ 无穷间断
$f(x)$ 在 $x_0$ 点可导, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 点
$\text{A.}$ 可能连续
$\text{B.}$ 不连续
$\text{C.}$ 连续
$\text{D.}$ 以上都不对
$f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限 $f\left(x_0^{+}\right)$和左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$存在且相等是 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的 $\qquad$条件
$\text{A.}$ 必要
$\text{B.}$ 充分
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 充分不必要
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leq 1 \\ a x+b, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导, 则 (
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-1$
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
设 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）
$\text{A.}$ 可去间断点．
$\text{B.}$ 跳跃间断点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点．
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi$ 和 $x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad$ ( $k$ 是整数 $)$ 是间断点, 其中无穷间 断点是 ________
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^x=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+2^n}{3^n+n^2}$
已知 $a$ 为常数, $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+2}{x}-a x+1\right)=1$, 则 $a=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} x \cot 2 x$;
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{x-1}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1, x < 0, \\ 0, x=0, \\ x+1, x>0 .\end{array}\right.$ ，说明：当 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 的极限不存在．
求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^3+4 x^2+2}{7 x^3+5 x^2-3}$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_1 x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_1 x+b_0}=$
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2}{e^x}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$ ；
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$;
求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}(k$ 为正整数 $)$ ．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^x & x < 0 \\ a+x & x \geq 0\end{array}\right.$ ，应当如何选择数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{x} & x>0 \\ a+x^2 & x \leq 0\end{array}\right.$ ，要使 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，应怎样选择数 $a$ ？
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$
求 $f(x)$ 的间断点，并说明间断点所属类型．
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x$;