单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求内接于半径为 $a$ 的球且有最大体积的长方体．
设 $z=f(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
设 $x=e^u \cos v, y=e^u \sin v, z=u v$ ，试求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微，且
$$
f(1,1)=1,\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}=2,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=3, \varphi(x)=f(x, f(x, x)) .
$$
$$
\text { 求 }\left.\frac{d}{d x} \varphi^3(x)\right|_{x=1} \text {. }
$$
根据二重积分的性质，比较下列积分大小： $\iint_D(x+y)^2 d \sigma$ 与 $\iint_D(x+y)^3 d \sigma$ ，其中积分区域 $D$ 是由 $x$ 轴，$y$ 轴与直线 $x+y=1$ 所围成