单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x, y)=x^2 y+2 x y+\frac{1}{3} y^2$, 则
$\text{A.}$ $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $(1,-1)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{C.}$ $(-2,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{D.}$ $(-1,1)$ 是 $f(x, y)$ 的最大极值点.
$\text{E.}$ 由 $f(x, y)=x^2 y+2 x y+\frac{1}{3} y^3$
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内无界的 ( ) 条件。
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充分必要
$\text{D.}$ 无关
下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（）。
$\text{A.}$ $\int_0^6 \frac{x^3}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^6 \frac{x}{\left(x^2-6\right)^2} d x$
$\text{D.}$ $\int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1}{x \ln x} d x$
$\forall x$, 有 $f(-x)=-f(x)$, 且 $f^{\prime}\left(-x_0\right)=-k \neq 0$, 则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $1 / k$
$\text{B.}$ $-1 / k$
$\text{C.}$ $-k$
$\text{D.}$ $k$
设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件：
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；
（3） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；
（4） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在；
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件个数是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为（）．
$\text{A.}$ $\int_0^l \frac{G}{x^2+1} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{G x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^l \frac{G}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^l \frac{G(x+1)}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，有（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小．
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价无穷小．
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小．
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 低阶的无穷小．
设 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的（ ）
$\text{A.}$ 可去间断点．
$\text{B.}$ 跳跃间断点．
$\text{C.}$ 第二类间断点．
$\text{D.}$ 连续点．
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\
x^2, x>1
\end{array}\right.
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左，右导数都存在．
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在．
$\text{D.}$ 左，右导数都不存在．
设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（ ）
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件．
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件．
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件．
判断题 （共 6 题 ）
$\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x}}=\infty$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\int_{-\pi}^\pi x^4 \sin x \mathrm{~d} x=0$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)$ 都存在，则极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 必存在. （填写正确或错误）
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，则必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0 $
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
等式 $\int_0^a f(x) \mathrm{d} x=-\int_0^a f(a-x) \mathrm{d} x$ ，对任何实数 $a$都成立.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若事件 $A, B, C$ 满足等式 $A \cup C=B \cup C$ ，则 $A=B$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $x>0$ ，证明 $\int_0^x \frac{1}{1+t^2} d t+\int_0^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+t^2} d t=\frac{\pi}{2}$ ．
计算 $\int_0^a \frac{d x}{x+\sqrt{a^2-x^2}}$ ；
计算 $\int_0^\pi x^2|\cos x| d x$ ．
计算阿基米德螺线$\rho=a \theta \quad(a>0)$ 上相应于 $\theta$ 从 0 变到 $2 \pi$ 的一段弧与极轴所围成的图形的面积．
求拋物线 $y^2=2 p x$ 及其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成的图形的面积
求对数螺线 $\rho=a e^\theta(-\pi \leq \theta \leq \pi)$ 及射线 $\theta=\pi$ 所围成的图形面积．
求由曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 与直线 $x=4, x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体的体积．
求圆盘 $(x-2)^2+y^2 \leq 1$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体的体积．