单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$, 则曲线 $f(x)$ ().
$\text{A.}$ 仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 仅有铅直渐近线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线
$\text{D.}$ 没有渐近线
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leq 1 \\ a x+b, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导, 则 (
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-1$
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$,则在区间 $[0,1]$ 上 ( )
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 则 $\int_0^1 f(x) d x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{2 n}$.
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$.
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$.
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k}{2 n}\right) \frac{2}{n}$.
若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极大值，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 或 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 不存在
如图 1, 三条曲线是某个函数若 $f(x)$ 及其一阶导函数 $f^{\prime}(x)$ 与二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形, 则 $y=f(x), y=f^{\prime}(x), y=f^{\prime \prime}(x)$ 的图形依次是
$\text{A.}$ $(a)(b)(c)$.
$\text{B.}$ $(b)(c)(a)$.
$\text{C.}$ $(c)(a)(b)$.
$\text{D.}$ $(b)(a)(c)$.
$\text{E.}$ $(c)(a)(b)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{f(3 x)}=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $3 / 2$
$\text{B.}$ $2 / 3$
$\text{C.}$ $1 / 3$
$\text{D.}$ $4 / 3$
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，有（）
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小．
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价无穷小．
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小．
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 低阶的无穷小．
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\
x^2, x>1
\end{array}\right.
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左，右导数都存在．
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在．
$\text{D.}$ 左，右导数都不存在．
设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（ ）
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件．
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件．
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}$;
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}$;
求极限 $\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin 3 x}{\tan 5 x}$;
设 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则为 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) d x=$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\int \sin ^2 x \cos ^5 x d x$
设 $\Phi(x)=\int_x^{x^2} \frac{\sin (x y)}{y} d y$, 求 $\Phi^{\prime}(x)$
已知函数
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
(\cos x)^{x^{-2}}, 0 < |x| < \frac{\pi}{2} \\
a, x=0
\end{array}\right.
$$
在 $x=0$ 连续，则 $a=$
试从 $\frac{d x}{d y}=\frac{1}{y^{\prime}}$ 导出：
（1）$\frac{d^2 x}{d y^2}=-\frac{y^{\prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^3}$ ；
（2）$\frac{d^3 x}{d y^3}=\frac{3\left(y^{\prime \prime}\right)^2-y^{\prime} y^{\prime \prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^5}$ ．
求由方程 $y^5+2 y-x-3 x^7=0$ 所确定的隐函数在 $x=0$ 处的一阶导数与二阶导数
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^2\right)}{\sec x-\cos x}$;
$\lim _{x \rightarrow 0} x^2 e^{\frac{1}{x^2}}$;