单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\
x^2, x>1
\end{array}\right.
$$
则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左，右导数都存在．
$\text{B.}$ 左导数存在，右导数不存在．
$\text{C.}$ 左导数不存在，右导数存在．
$\text{D.}$ 左，右导数都不存在．
设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的（ ）
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分条件但非必要条件．
$\text{C.}$ 必要条件但非充分条件．
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件．
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $A$ 是 3 阶方阵，特征值为 $1,2,3$ ，则 $| A |$ 的元素 $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ 的代数余子式 $A_{11}, A_{22}, A_{33}$的和 $\sum_{i=1}^3 A_{i i}=$
设 $A$ 是 5 阶方阵，满足 $A ^5= O$ ．则 $| A +3 E |=$
求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 满足 $x^2 y^{\prime}+y=x^2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}(x \neq 0)$, 且 $y(1)=3 \mathrm{e}$.
(I) 求 $y=y(x)$ 的全部渐近线方程;
(II) 讨论曲线 $y=y(x)$ 与 $y=k(k>0)$ 不同交点的个数.