单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知平面区域 $D_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}, D_2=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}$, $D_3=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi\right.\right\}$, 记 $I_1=\iint_{D_1} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_2=\iint_{D_2} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_3=\iint_{D_3} e ^{-x^2} \sin y d x d y$,则（）
$\text{A.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则 ()
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
设连续函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x-2 y-4}{x^2+y^2}=-1$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h, 0)-f(0,-h)}{h}=($ )
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
曲线 $y=x \ln \frac{x}{x-1}+\ln [x(x-1)]$ 的渐近线的条数为 ( )
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
记3 元二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3\left(x_i-\bar{x}\right)^2, \bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$, 其对应的矩阵为 $A$, 则
$\text{A.}$ $r( A )+r( E - A )=4$.
$\text{B.}$ $r( A )+r( E + A )=4$.
$\text{C.}$ $r( A )+r( E - A )=5$.
$\text{D.}$ $ r( A )+r( E + A )=5$.
设 $I_1=\int_{-1}^1 e ^{-\frac{x^2}{2}} d x, I_2=\sqrt{2 \pi\left(1- e ^{-1}\right)}, I_3=4\left(1- e ^{-\frac{1}{2}}\right)$, 则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $I_3>I_1>I_2$.
$\text{B.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
若 $u(x, y)$ 的二阶偏导数存在且 $u \neq 0$ ，则条件 $u \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}$ 是 $u(x, y)=f(x) g(y)$ 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件
$\text{B.}$ 充要条件
$\text{C.}$ 既非充分也非必要条件
$\text{D.}$ 必要非充分条件
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点.
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点, 曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点.
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点.
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & a\end{array}\right)$, 若 $f(x, y)=|x A +y B |$ 是正定二次型, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,2-\sqrt{3})$
$\text{B.}$ $(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(2+\sqrt{3}, 4)$
$\text{D.}$ $(0,4)$
设 $f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x+1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & x+2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & x+3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & x+n\end{array}\right|$, 则 $f^{(n-1)}(0)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} n(n+1)$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}(n+1)!$.
$\text{C.}$ $n!$.
$\text{D.}$ $(n+1)!$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A$ 是三阶可逆矩阵。如果 $A^{-1}$ 的特征值为1,2,3，则 $A$ 的代数余子式之和 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=$
$\int_0^{+\infty} \frac{ d x}{1+x^4}=$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{2 x}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n x}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=$
设 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f\left(x, x^2\right)=x^2, f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x y, f_x^{\prime}(x, 0)=2 x$ ，则 $d f(1,1)=$
若四阶常系数齐次线性微分方程有一个解为 $y=x e ^x \cos 2 x$, 则该方程的通解为
设 $f(x)$ 为 $[0,3]$ 上的非负连续函数, 且满足 $f(x) \int_1^2 f(x t-x) d t=2 x^2, x \in[0,3]$, 则 $f(x)$ 在区间 $[1,3]$ 上的平均值为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数，且满足 $f^{\prime}(x)>0$ ， $a \leq f(x) \leq b$. 证明:
(1) 对 $\forall x_1, x_2, x_3 \in(a, b), \exists c \in(a, b)$ ，使得
$$
f^{\prime}(c)=\sqrt[3]{f^{\prime}\left(x_1\right) f^{\prime}\left(x_2\right) f^{\prime}\left(x_3\right)}
$$
(2) $\exists \xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(f(f(a)))-f(f(f(b)))=\left(f^{\prime}(\xi)\right)^3(a-b)
$$
设 $x>-1$ 时，可微函数 $f(x)$ 满足条件
$$
f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{x+1} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=0
$$
且 $f(0)=1$. 证明: 当 $x \geq 0$ 时， $e^{-x} \leq f(x) \leq 1$
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 设 $f(x, y)$ 为 $D$ 上的连续函数, 且有
$$
f(x, y)=\sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{\pi} \iint_D \frac{x f(x, y)}{x+y} d x d y
$$
求 $f(x, y)$
(1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的分别对应于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的标准正交特征向量. 证明 $A$ 可表示成 $n$ 个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right]$, 将 $A$ 表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.
设 $D=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 4\}$, 求函数 $f(x, y)=\left(x^2+y^2\right) e ^{-x-y}$ 在区域 $D$ 上的最大值与最小值.
设 $x_n=\underbrace{\sin \sin \cdots \sin x}_{n层}, x \in(-\infty,+\infty)$, 求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.