单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，那么
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调
$\text{D.}$ $ f(x)$ 在 $[a, b]$ 上只有一个间断点
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e ^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x, \quad\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意常数 $)$ 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0 \text {. }$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & -\pi \leqslant x < 0,\end{array} S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n \dot{x}\right)\right.$ 是 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $-\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$.
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{2 x}$的通解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime}+y=e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x-3 y^2\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$的解为 $y=$
设 $y=\ln \left(x+\frac{1}{x}\right)$ ，求 $y^{\prime}$
差分方程 $2 y_{t+1}-6 y_t=5 \cdot 3^t$ 满足 $y_0=0$ 的特解为
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x \in[0,1), \\ 2 x, & x \in[1,2] .\end{array}\right.$ 求 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式,并讨论 $F(x)$ 在 $x=1$ 点的可导性。
设 $\frac{\sin x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则为 $\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi x f^{\prime}(x) d x=$
若四阶常系数齐次线性微分方程有一个解为 $y=x e ^x \cos 2 x$, 则该方程的通解为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $B$ 是秩为 2 的 $5 \times 4$ 矩阵， $\alpha_1=(1,1,2,3)^T$,
$$
\alpha_2=(-1,1,4,-1)^T, \alpha_3=(5,-1,-8,9)^T
$$
是齐次方程组 $B x=0$ 的解向量，求 $B x=0$ 的解空间的一个标准正交基.
求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0$ 的通解.
求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $(x+1)$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式.
求函数 $f(x)=x e ^x$ 的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x < 0 \\ x+1,0 \leq x \leq 1 \\ 2 x, x>1\end{array}\right.$, 求 $\int f(x) d x$ 。