信号与系统数学摸底-数学组卷-自助组卷

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信号与系统数学摸底

数学

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

f (x)

在

[a, b]

上可积，那么

A.

f (x)

在

[a, b]

上有界

B.

f (x)

在

[a, b]

上连续

C.

f (x)

在

[a, b]

上单调

D.

f (x)

在

[a, b]

上只有一个间断点

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2. 在下列微分方程中，以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} \cos 2 x + C_{3} \sin 2 x, (C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意常数

)

为通解的是

A.

y^{'''} + y^{''} - 4 y^{'} - 4 y = 0

B.

y^{'''} + y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0

C.

y^{'''} - y^{''} - 4 y^{'} + 4 y = 0

D.

y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0 .

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3. 设

f (x) = {\begin{cases} x + 1, & 0 ⩽ x ⩽ π, \\ 0, & - π ⩽ x < 0, \end{cases} S (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n \dot{x})

是

f (x)

以

2 π

为周期的傅里叶级数, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} =

A.

- \frac{π}{4}

.

B.

\frac{π}{4}

.

C.

- \frac{π}{2}

.

D.

\frac{π}{2}

.

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 二阶常系数非齐次线性微分方程

y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = 2 e^{2 x}

的通解为

y =

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5. 微分方程

y^{'} + y = e^{- x} \cos x

满足条件

y (0) = 0

的解为

y =

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6. 微分方程

y d x + (x - 3 y^{2}) d y = 0

满足条件

{y |}_{x = 1} = 1

的解为

y =

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7. 设

y = \ln (x + \frac{1}{x})

，求

y^{'}

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8. 差分方程

2 y_{t + 1} - 6 y_{t} = 5 \cdot 3^{t}

满足

y_{0} = 0

的特解为

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9. 设

f (x) = {\begin{cases} x^{2}, & x \in [0, 1), \\ 2 x, & x \in [1, 2] . \end{cases}

求

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

在

[0, 2]

上的表达式,并讨论

F (x)

在

x = 1

点的可导性。

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10. 设

\frac{\sin x}{x}

是

f (x)

的一个原函数, 则为

\int_{\frac{π}{2}}^{π} x f^{'} (x) d x =

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11. 若四阶常系数齐次线性微分方程有一个解为

y = x e^{x} \cos 2 x

, 则该方程的通解为

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12. 设

B

是秩为 2 的

5 \times 4

矩阵，

α_{1} = (1, 1, 2, 3)^{T}

,

α_{2} = (- 1, 1, 4, - 1)^{T}, α_{3} = (5, - 1, - 8, 9)^{T}

是齐次方程组

B x = 0

的解向量，求

B x = 0

的解空间的一个标准正交基.

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13. 求

y^{''} - 2 y^{'} + 2 y = 0

的通解.

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14. 求函数

f (x) = \frac{1}{x}

按

(x + 1)

的幂展开的带有拉格朗日余项的

n

阶泰勒公式.

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15. 求函数

f (x) = x e^{x}

的带有佩亚诺余项的

n

阶麦克劳林公式.

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16. 设

f (x) = {\begin{cases} 1, x < 0 \\ x + 1, 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x, x > 1 \end{cases}

, 求

\int f (x) d x

。

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