单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
已知反常积分 (1) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{1+x^4} d x$,
(2) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^4} d x$,
(3) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \sqrt[3]{x}}{1+x^4} d x$, $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^3}{1+x^4} d x$, 其中收敛且值等于 0 的是
$\text{A.}$ (1)(2).
$\text{B.}$ (1)(3).
$\text{C.}$ (2)(4).
$\text{D.}$ (1)(2)(3).
$\text{E.}$ (1)(2)(4).
设函数 $e^x f(x)$ 的一个原函数是 $x^2$, 则 $\int_0^1 f(x) d x=$
$\text{A.}$ $e$
$\text{B.}$ -1 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{e}$.
$\text{D.}$ $1-\frac{1}{e}$.
$\text{E.}$ $2-\frac{2}{e}$.
求函数 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} d x$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{8}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi$.
$\text{E.}$ $2 \pi$.
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求不定积分 $\int e ^x \cos \left(2 e ^x\right) d x$;
计算反常积分 $\int_0^{+\infty} e ^{-x} \sin x d x$ ；
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\cos x}{1+\sin ^2 x} d x=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 且满足方程
$$
\int_0^x(x-t) f(t) d t=e^x\left(x^2-2 x\right)
$$
（1）求 $f(x)$ 的表达式;（2）求 $f(x)$ 的极值。
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+2 \cos x}{3 \sin x+\cos x} d x$;
设 $t \in(0,1)$, 计算积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\tan x)^{1-2 t} d x$ 。
判断广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln \left(1+x^4\right)}{x^p} d x$ 的收敛性，其中 $p$ 是一个实参数。
设 $\Gamma$ 是空间曲线: $y=e^{\frac{x^2}{2}}, z=0, x \geq 0$, 将该曲线绕坐标 $y$ 轴旋转一周,
1) 求所成曲面上的点满足的方程; 2) 求所成曲面与平面 $y=e$ 围成的有界立体的体积。
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left(\sqrt{1+t^2}-\sqrt{1-t^2}\right) d t}{x^2 \sin x}$
$\int \frac{\cos ^2 x-\sin x}{\cos x\left(1+\cos x e^{\sin x}\right)} d x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x < 0 \\ x+1,0 \leq x \leq 1 \\ 2 x, x>1\end{array}\right.$, 求 $\int f(x) d x$ 。
$\int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1-2 x}{1+2 x}} d x$
$\int_0^{+\infty} \frac{d x}{\left(1+x^2\right)^2}$