单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
一个容器的内侧是由曲线 $x^2+y^2=a^2\left(y \leq \frac{a}{2}, a>0\right)$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面, 其中长度单位为 $m$ ，重力加速度为 $g\left(m / s^2\right)$ ，水的密度为 $\rho\left( kg / m ^3\right)$ ，若将容器内盛满的水从容器中全部抽出至少需要做的功为（）
$\text{A.}$ $\frac{45}{64} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{B.}$ $\frac{45}{32} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{C.}$ $\frac{45}{16} \rho g \pi a^4(J)$
$\text{D.}$ $\frac{45}{8} \rho g \pi a^4(J)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $S$成正比，比例常数 $\boldsymbol{K}>0$. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时?
由曲线 $y=\frac{4}{x}$ 和直线 $y=x$ 及 $y=4 x$ 在第一象限中围成的平面图形的面积为
一根长度为 1 的细棒位于 $x$ 轴的区间 $[0,1]$ 上，若其线密度 $\rho(x)=-x^2+2 x+1$, 则该细棒的质心坐标 $\bar{x}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 $k, k>0$ ). 汽锤第一次击打将桩打进地下 $a \mathrm{~m}$. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 $r(0 < r < 1)$. 问
（1）汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深?
（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注: $m$ 表示长度单位米.)
有一平底容器，其内侧壁是由曲线 $x=\varphi(y)(y \geq 0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 m . 根据设计要求，当以 $3 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{min}$ 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 $\pi \mathrm{m}^2 / \mathrm{min}$ 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).
(1) 根据 $t$ 时刻液面的面积，写出 $t$ 与 $\varphi(y)$ 之间的关系式；
（2）求曲线 $x=\varphi(y)$ 的方程. (注: m 表示长度单位米， $\min$表示时间单位分.)
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ) 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? ( kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米 (小时).
如图， $C_1$ 和 $C_2$ 分别是 $y=\frac{1}{2}\left(1+e^x\right)$ 和 $y=e^x$ 的图象，过点 $(0,1)$ 的曲线 $C_3$ 是一单调增函数的图象. 过 $C_2$ 上任一点 $M(x, y)$ 分别作垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴的直线 $l_x$ 和 $l_y$. 记 $C_1, C_2$与 $l_x$ 所围图形的面积为 $S_1(x) ； C_2, C_3$ 与 $l_y$ 所围图形的面积为 $S_2(y)$. 如果总有 $S_1(x)=S_2(y)$ ，求曲线 $C_3$ 的方程 $x=\phi(y)$.
一个高为 $l$ 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 $2 a$ ，短轴为 $2 b$ 的椭圆. 现将咜油罐以长轴平行于水平面平放，当油罐中油面高度为 $\frac{3}{2} b$ 时，计算油的质量. (长度单位为 m ，质量单位为 kg ，油的密度为常数 $\rho \mathrm{kg} / \mathrm{m}^3$ )
一容器的内侧是由曲线 $C$ 绕 $y$ 轴旋转一周而成的曲面，其中曲线 $C$ 由 $x^2+y^2=2 y\left(y \geq \frac{1}{2}\right)$ 与 $x^2+y^2=1\left(y \leq \frac{1}{2}\right)$连接而成的.
(1) 求容器的容积；
（2）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功? (长度单位： m ，重力加速度为 $g \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ ，水的密度为 $10^3 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3$ ).