一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)=2^x+3^x-2$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, 有
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 同阶但非等价无穷小
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 高阶的无穷小
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 低阶的无穷小
设$f(x)=\dfrac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+1}$则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, $g(f(x))=x$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $f(x)$ 存在反函数
$\text{B.}$ $g(x)$ 存在反函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 和 $g(x)$ 都存在反函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 和 $g(x)$ 都不存在反函数
设 $\left\{x_n\right\}=n^2\left(\sqrt{\cos \frac{1}{n}}-\cos \frac{1}{n}\right)$, 则
$\text{A.}$ $\left\{x_n\right\}$ 为无穷大量
$\text{B.}$ $\left\{x_n\right\}$ 为无穷小量
$\text{C.}$ $\left\{x_n\right\}$ 非无穷大量但无界
$\text{D.}$ $\left\{x_n\right\}$ 非无穷小量但有界
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设函数 $f(x)$ 在区问 $[a, b]$ 上有定义, 对于命题
(1) 若 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上无界, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必存在间断点
(2) 若 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 则导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有界
下列选项正确的是
$\text{A.}$ 仅 (1) 正确
$\text{B.}$ 仅（2）正确
$\text{C.}$ 都正确
$\text{D.}$ 都错误
函数 $f(x)=(x-[x]) \sin 2 \pi x$ 是
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
有以下命题: 设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 存在, $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在, $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在,
(1) $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) g(x))$ 不存在
(2) $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在
(3) $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) g(x))$ 不存在
(4) $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在
则以上命题正确的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $f(x)=\lim _{t \rightarrow 0}\left(1+\frac{\sin t}{x}\right)^{\frac{x^2}{t}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 $(\quad)$
$\text{A.}$ 连续
$\text{B.}$ 有可去间断点
$\text{C.}$ 有跳跃间断点
$\text{D.}$ 有无穷间断点
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=$
极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2+x}{2^x+x}(\sin x+\cos x)=$
若 $x \rightarrow 0$ 时, $e^{x \cos x}-e^x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小量, 则 $k=$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 2 x+e^{2 a x}-1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 则 $a=$
三、解答题 （ 共 11 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1 .
$$
证明方程 $\sin x+x+1=0$ 在开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个根.
用极限定义证明: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-1}{x^2+1}=-1$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x-1) e ^x+1}{x^2 \sqrt{1+x^2}}$.
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x-\sin (\sin x))^{\frac{1}{x^3}}$.
已知数列 $a_n=\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)}$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$.
求数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n^2+1}+\frac{2}{2 n^2+2}+\cdots+\frac{n}{2 n^2+n}\right)$.
求函数 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x(1-\cos x)}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$.
证明方程 $3^x+\cos x=3$ 在区间 $(0,1)$ 内至少有一个实根.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $0 < x_1 < 3, x_{n+1}=\sqrt{x_n\left(3-x_n\right)} \quad(n=1,2, \cdots)$, 证明 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.