一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数, 且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$, 则当 $a < x < b$ 时, 有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数,则 $x=0$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{[x]}{x}}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷型间断点
$\text{D.}$ 无限振荡型间断点
在下列区间内，函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{x(x-1)}$ 的有界的是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$.
$\text{D.}$ 以上都不正确.
当 $x \rightarrow 1$ 时, 函数 $\frac{x^2-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2 .
$\text{B.}$ 等于 0 。
$\text{C.}$ 为 $\infty$ 。
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{B.}$ $a=0, b=-2$.
$\text{C.}$ $a=0, b=-\frac{5}{2}$.
$\text{D.}$ $a=1, b=-2$.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛,则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛.
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛.
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛。
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设 $x \rightarrow 0$ 时, $e ^{\tan x}- e ^x$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小, 则 $n$ 为
$\text{A.}$ 1 .
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ 3 .
$\text{D.}$ 4.
设函数 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$, 则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 有 1 个可去间断点, 1 个跳跃间断点.
$\text{B.}$ 有 1 个可去间断点, 1 个无穷间断点.
$\text{C.}$ 有两个无穷间断点.
$\text{D.}$ 有两个跳跃间断点.
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
函数 $y=\arcsin \frac{x-1}{5}+\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$ 的定义域是
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2 !}+\frac{2}{3 !}+\ldots+\frac{n}{(n+1) !}\right]^{2 n \cdot n !}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^2+3 x+1\right)}{\ln \left(x^3+2 x+1\right)}$;
设 $f^{\prime}(5)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{f(x)-f(5)}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}=$;
计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{1+x+x^2+x^3}-x\right)$
函数 $y=\sqrt{x-1}+\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-2}}$ 的定义域为
$y=(x-1)^2(x-2)^2(-3 \leqslant x \leqslant 4)$ 的值域是
三、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$. 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求此极限.
证明: 当 $x \rightarrow 0$ 时, 有
(1) $\arctan x \sim x$;
(2) $\sec x-1 \sim \frac{x^2}{2}$.
利用等价无穷小计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^3 x} $
设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续,证明函数
$$
\varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\}, \quad \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\}
$$
在点 $x_0$ 也连续.
证明
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)=1 .
$$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$解
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots \sqrt{2}}}}$
用极限定义证明: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-1}{x^2+1}=-1$.