一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $A, B$, 为 $n$ 阶方阵, 则下列式子一定正确的是
$\text{A.}$ $A B=B A$
$\text{B.}$ $(\mathrm{A}+\mathrm{B})^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
设四阶方阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$, 则 $A$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为零
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例
$\text{C.}$ 任意一列向量是其余列向量的线性组合
$\text{D.}$ 必有一列向量是其余向量的线性组合
在下列 5 阶行列式中, 符号为正的项是
$\text{A.}$ $a_{13} a_{24} a_{32} a_{41} a_{55}$
$\text{B.}$ $a_{15} a_{31} a_{22} a_{44} a_{53}$
$\text{C.}$ $a_{23} a_{32} a_{41} a_{15} a_{54}$
$\text{D.}$ $a_{31} a_{25} a_{43} a_{14} a_{52}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵, 则 $|k \boldsymbol{A}|=$
$\text{A.}$ $k^n|A|$
$\text{B.}$ $k|A|$
$\text{C.}$ $|k||A|$
$\text{D.}$ $(k|\boldsymbol{A}|)^n$
设 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=m$, 则 $\left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_2 & a_3 \\ 2 b_1 & 2 b_2 & 2 b_3 \\ 3 c_1 & 3 c_2 & 3 c_3\end{array}\right|=\begin{array}{lll}\end{array}$.
$\text{A.}$ $6 m$
$\text{B.}$ $-6 m$
$\text{C.}$ $2^3 3^3 m$
$\text{D.}$ $-2^3 3^3 m$
3 阶行列式 $D$ 的元素为 $a(a>0)$ 或 0 , 则该行列式的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} a^3$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} a^3$
$\text{C.}$ $2 a^3$
$\text{D.}$ $a^3$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=0$, 则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $R(A) < n$;
$\text{B.}$ $A$ 有一个行向量是其余 $n-1$ 个行向量的线性组合
$\text{C.}$ 有两行元素成比例;
$\text{D.}$ $A$ 的 $n$ 个列向量线性相关.
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}-1 & 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right|$ 中 $x$ 的一次项系数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 3 & x & 4 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 3 & 1 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -4
$\text{D.}$ 4
二、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
证明：
$$
\begin{aligned}
& \left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a & b & c & d \\
a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
a^4 & b^4 & c^4 & d^4
\end{array}\right| \\
= & (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
\end{aligned}
$$
证明：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x & -1 & 0 & 0 \\
0 & x & -1 & 0 \\
0 & 0 & x & -1 \\
a_0 & a_1 & a_2 & a_3
\end{array}\right|=a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0
$$
计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & x\end{array}\right|$;
计算 $$ D_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 & 1+a_2 & & a_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_n & a_n & \cdots & 1+a_n
\end{array}\right|
$$