试卷具体名称56-数学组卷-自助组卷

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试卷具体名称56

数学

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

A, B

, 为

n

阶方阵, 则下列式子一定正确的是

A.

A B = B A

B.

(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}

C.

| A B | = | B A |

D.

(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}

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2. 设四阶方阵

A

的行列式

| A | = 0

, 则

A

中

A.

必有一列元素全为零

B.

必有两列元素对应成比例

C.

任意一列向量是其余列向量的线性组合

D.

必有一列向量是其余向量的线性组合

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3. 在下列 5 阶行列式中, 符号为正的项是

A.

a_{13} a_{24} a_{32} a_{41} a_{55}

B.

a_{15} a_{31} a_{22} a_{44} a_{53}

C.

a_{23} a_{32} a_{41} a_{15} a_{54}

D.

a_{31} a_{25} a_{43} a_{14} a_{52}

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4. 设

A

为

n

阶方阵, 则

| k A | =

A.

k^{n} | A |

B.

k | A |

C.

| k | | A |

D.

(k | A |)^{n}

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5. 设

| \begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array} | = m

, 则

| \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 2 b_{1} & 2 b_{2} & 2 b_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{array} | = \begin{array}{lll}  \end{array}

.

A.

6 m

B.

- 6 m

C.

2^{3} 3^{3} m

D.

- 2^{3} 3^{3} m

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6. 3 阶行列式

D

的元素为

a (a > 0)

或 0 , 则该行列式的最大值为

A.

\frac{1}{2} a^{3}

B.

\frac{1}{4} a^{3}

C.

2 a^{3}

D.

a^{3}

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7. 设

A

为

n

阶方阵,

| A | = 0

, 则下列结论错误的是

A.

R (A) < n

;

B.

A

有一个行向量是其余

n - 1

个行向量的线性组合

C.

有两行元素成比例;

D.

A

的

n

个列向量线性相关.

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8. 行列式

| \begin{array}{cccc} - 1 & 0 & x & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array} |

中

x

的一次项系数是

A.

1

B.

-1

C.

4

D.

-4

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9. 多项式

f (x) = | \begin{array}{cccc} x & - 1 & 2 x & - x \\ 3 & x & 4 & 1 \\ 2 & 0 & - x & - 1 \\ - 1 & 3 & 1 & x \end{array} |

中

x^{3}

项的系数为

A.

-3

B.

3

C.

-4

D.

4

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二、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 证明：

\begin{aligned} | \begin{array}{llll} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} & d^{2} \\ a^{4} & b^{4} & c^{4} & d^{4} \end{array} | \\ = & (a - b) (a - c) (a - d) (b - c) (b - d) (c - d) (a + b + c + d) \end{aligned}

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11. 证明：

| \begin{array}{cccc} x & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x & - 1 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array} | = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

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12. 计算

D_{n} = | \begin{array}{cccc} x & a & \dots & a \\ a & x & \dots & a \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a & a & \dots & x \end{array} |

;

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13. 计算

D_{n} = | \begin{array}{cccc} 1 + a_{1} & a_{1} & \dots & a_{1} \\ a_{2} & 1 + a_{2} & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & \dots & 1 + a_{n} \end{array} |

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