一、单选题 （共 20 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x)=\left(x^3-x^2+\frac{1}{2} x\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^6+1}-\frac{1}{6}$ 是 $g(x)=\alpha x^\beta$ 等价无穷小, 则 $\alpha, \beta=$
$\text{A.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1$
$\text{B.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-1$
$\text{C.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-2$
$\text{D.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-2$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\alpha_1=\sqrt{x+\sqrt{x}}, \alpha_2=\sqrt[3]{x} \tan (x+\sqrt{x}), \alpha_3=1-\cos \sqrt{x}$. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小量的阶数从低到高的排序是 ( )
(1). 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3 \\ y=t^2\end{array}\right.$ 确定的函数 $y=f(x)$
(2). $\ln \left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)$
(3). $\int_0^{\sin x} \ln \left(1+\sqrt{t^2}\right) \mathrm{d} t$
(4). $\frac{1-\cos \sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}$
$\text{A.}$ (1)(4)(2)(3)
$\text{B.}$ (2)(4)(1)(3)
$\text{C.}$ (1)(4)(3)(2)
$\text{D.}$ (4)(2)(1)(3)
设 $\int_0^{\tan x}\left(\mathrm{e}^{a t^2}-1\right) \mathrm{d} t \sim 2 x^3+b x(x \rightarrow 0)$, 则
$\text{A.}$ $a=6, b=0$
$\text{B.}$ $a=0, b=6$
$\text{C.}$ $a=-6, b=0$
$\text{D.}$ $a=0, b=-6$
设连续函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x-2 y-4}{x^2+y^2}=-1$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h, 0)-f(0,-h)}{h}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ -4
设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义, 且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=-1$, 则下列正确的是 （ ）
$\text{A.}$ $f(0)=1$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=-1$.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(0)=1$.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\tan h-h)}{h^3}$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\ln (1+h)-h)}{h^2}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\arctan h-h)}{h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(-h)}{h}$ 存在.
已知函数 $f(x)$ 具有一阶连续导数且 $f(0) \neq 0$, 极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t}-\frac{1}{x^2 f\left(x^2\right)}\right]=$
$\text{A.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{B.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{C.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
$\text{D.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-\sqrt{\cos x}) \sin (\sin x)}{[x-\ln (1+\tan x)]\left(e^x-1\right)}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{3}$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^{x^2}[1-\cos (x t)] \mathrm{d} t$ 与 $x^n$ 为同阶无穷小, 则 $n$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
当 $x \rightarrow 1$ 时，函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} e^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限
$\text{A.}$ 等于 2
$\text{B.}$ 等于 0
$\text{C.}$ 为 $\infty$
$\text{D.}$ 不存在但不为 $\infty$
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^k}=c$ ，其中 $k, c$ 为常数， $c \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $k=2, c=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $k=3, c=\frac{1}{3}$
当 $x \rightarrow 0$ 时，用" $o(x)$ "表示比 $x$ 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是
$\text{A.}$ $x \cdot o\left(x^2\right)=o\left(x^3\right)$
$\text{B.}$ $o(x) \cdot o\left(x^2\right)=o\left(x^3\right)$
$\text{C.}$ $o\left(x^2\right)+o\left(x^2\right)=o\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $o(x)+o\left(x^2\right)=o\left(x^2\right)$
设 $p(x)=a+b x+c x^2+d x^3$ ， 当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $p(x)-\tan x$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是
$\text{A.}$ $a=0$
$\text{B.}$ $b=1$
$\text{C.}$ $c=0$
$\text{D.}$ $d=\frac{1}{6}$
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $x-\tan x$ 与 $x^k$ 是同阶无穷小，则 $k=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-a}{x-a}=b$, 则 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$
$\text{A.}$ $b \sin a$
$\text{B.}$ $b \cos a$
$\text{C.}$ $b \sin f(a)$
$\text{D.}$ $b \cos f(a)$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_0^{x^2}\left(e^{t^3}-1\right) \mathrm{d} t$ 是 $x^7$ 的（）
$\text{A.}$ 低阶无穷小
$\text{B.}$ 等价无穷小
$\text{C.}$ 高阶无穷小
$\text{D.}$ 同阶但非等价无穷小
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-2 x^3\right)+x f(x)}{x^6}=3$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 x^2}{x^5}=$
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^2} \int_0^t \mathrm{~d} x \int_0^{t-x} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} y=$
$\lim _{\substack{x \rightarrow 2 \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\cos \frac{x^2}{y}\right)^{\frac{y^2+x}{x^3}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\ln \left(e^{\sin x}+\sqrt[3]{1-\cos x}\right)-\sin x}{\arctan (4 \sqrt[3]{1-\cos x})}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-x}{x-\sin x}=$
$\lim _{x \rightarrow 3} \dfrac{\sqrt{x^3+9}-6}{2-\sqrt{x^3-23}}=$
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+3}{x+2}\right)^{2 x-1}=$
设 $f(x)$ 连续, 且当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_0^x\left(x^2+1-\cos t\right) f(t) \mathrm{d} t$ 是与 $x^3$ 等价的无穷小, 则 $f(0)=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}=$
$ \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}=$
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^4 x}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}$
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=e, \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-f(x-1)] \text {. }
$$
求 $c$ 的值.
求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos ^2 x}{x^2}\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-e^{2-2 \cos x}}{x^4}$.