科数 题库 试卷 组卷 竞赛 教材 学习 VIP
微信扫码登录 或 手机号登录 考研数学版
导出试卷      打印试卷      试卷白板

第五章 二次型

高等代数二次型

一、单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
1. 已知二次型 f(x1,x2,x3)=∑i=13(xi−x¯)2, 其中 x¯=x1+x2+x33, 则二次型的正惯性指数为
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷
2. 已知二次型 f(x1,x2)=2x12+ax22+4x1x2 对应的矩阵与 (4b31) 合同, 则
A. a>2,b=3. B. a<2,b=3. C. a>2,b=23. D. a<2,b=23.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷
3. 设 f(x) 和 φ(x) 在 (−∞,+∞) 内有定义， f(x) 为连续函数，且 f(x)≠0，φ(x) 有间断点，则
A. φ[f(x)] 必有间断点 B. [φ(x)]2 必有间断点 C. f[φ(x)] 必有间断点 D. φ(x)f(x) 必有间断点

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷
二、填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
4. 设二次型 f(x1,x2,x3)=x12+3x32−4x1x2+2x1x3−8x2x3, 则二次型 f 的矩阵是

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷
三、解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
5. 实二次型 f(x1,x2,x3)=(x1+2x2)2+(2x2−x3)2 +(x1+x3)2 的正惯性指数为

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷
6. 设实二次型 f(x1,x2,x3)=(x1−x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2, 其中 a 是参数.
(I) 求 f(x1,x2,x3)=0 的解;
(II) 求 f(x1,x2,x3) 的规范形.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷
7. 已知实二次型 f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+ax32
+2x1x2+2x1x3+2x2x3 用正交替换 X=TY 化为标准形
f(x1,x2,x3)=by22+cy32,(b,c≠0).

求 a,b,c 并写出正交替换及所化成的标准二次型.

点赞(1) 错题本(0) 加入试卷
8. 设 A 为 3 阶实对称阵, ξ1=(a,−2,1)T 是 Ax=0 的解, ξ2=(a,a,−3)T是 (A−E)x=0 的解, 且 B=(3121a−22−29) 是正定矩阵.
(I) 求参数 a;
(II) 求正交变换 x=Py, 将二次型 f=xTBx 化为标准形;
(III) 当 xTx=2 时, 求 f=xTBx 的最大值.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷
9. 已知二次型 f(x1,x2,x3)=|0−x1−x2−x3x1a11a12a13x2a21a22a23x3a31a32a33|, 实对称矩阵 A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33).
(1) 求二次型 f(x1,x2,x3) 的矩阵;
(2) 已知二次型 f(x1,x2,x3) 经正交变换化为标准形 y12+4y22+y32, 其中 |A|>0, 矩阵 A 各行元素之和为 a(a<1), 矩阵 B 满足 [(12A)∗]−1BA=6AB+12E, 求可逆矩阵 P 和对角矩阵 Λ, 使得 PTBP=Λ.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

他的试卷

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与