单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3\left(x_i-\bar{x}\right)^2$, 其中 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$, 则二次型的正惯性指数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
已知二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=2 x_1^2+a x_2^2+4 x_1 x_2$ 对应的矩阵与 $\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right)$ 合同, 则
$\text{A.}$ $a>2, b=3$.
$\text{B.}$ $a < 2, b=3$.
$\text{C.}$ $a>2, b=\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ $a < 2, b=\frac{2}{3}$.
设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义， $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x) \neq 0 ， \varphi(x)$ 有间断点，则
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 必有间断点
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1{ }^2+3 x_3{ }^2-4 x_1 x_2+2 x_1 x_3-8 x_2 x_3$, 则二次型 $f$ 的矩阵是
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+2 x_2\right)^2+\left(2 x_2-x_3\right)^2$ $+\left(x_1+x_3\right)^2$ 的正惯性指数为
设实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$, 其中 $a$ 是参数.
(I) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解;
(II) 求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形.