一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)$ 为已知连续函数, $I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$, 其中 $t>0, s>0$, 则 $I$ 的值 ( )
$\text{A.}$ 依赖于 $s$ 和 $t$.
$\text{B.}$ 依赖于 $s, t, x$.
$\text{C.}$ 依赖于 $t$ 和 $x$, 不依赖于 $s$.
$\text{D.}$ 依赖于 $s$, 不依赖于 $t$.
当 $x>0$ 时,曲线 $y=x \sin \frac{1}{x} $ （ ）
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线.
$\text{B.}$ 有且仅有铅直渐近线.
$\text{C.}$ 既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.
$\text{D.}$ 既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
当 $x=$ （ ） 时, 函数 $y=x 2^{x}$ 取得极小值.
已知 $f^{\prime}(3)=2$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{2 h}=$
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=$
设 $a$ 为非零常数, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^{x}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f[f(x)]=$ （ ）
三、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求正常数 $a$ 与 $b$, 使等式 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立.
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域.
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 有 3 个不同的特征值，且 $\alpha_3=\alpha_1+2 \alpha_2$ 。
(1) 证明 $r(A)=2$ ；
(2) 如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$, 求方程组 $\boldsymbol{A x}=\beta$ 的通解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2-x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2$ $-8 x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 在正交变换 $x=Q y$ 下的标准型为
$$
\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2
$$
求 $a$ 的值及一个正交矩阵 $Q$.