一、单选题 （共 30 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\tan ^2 x\right)-x^2}{x^4}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 1/2
$\text{C.}$ 1/6
$\text{D.}$ 1/4
设 $f(x)=\frac{\ln |x|}{|x-1|} \sin x$, 则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 两个可去间断点.
$\text{B.}$ 两个无穷间断点.
$\text{C.}$ 一个可去间断点, 一个跳跃间断点.
$\text{D.}$ 一个可去间断点,一个无穷间断点.
设 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{m x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $f(x)=|x|$, 则函数在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且可导
$\text{B.}$ 连续且可微
$\text{C.}$ 连续不可导
$\text{D.}$ 不连续不可微
如果 $f(x)$ 在 $x$ 处可微, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-\mathrm{d} y}{\Delta x}$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
已知 $\int_0^1\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=1, f(1)=0$, 则 $f(0)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(x)=3 \sin x-\sin 3 x$ 与 $c x^k$ 是等价无穷小, 则
$\text{A.}$ $k=1, c=4$.
$\text{B.}$ $k=1, c=-4$.
$\text{C.}$ $k=3, c=4$.
$\text{D.}$ $k=3, c=-4$.
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ 且 $f^{\prime}(0)=0$ 则
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值;
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值;
$\text{C.}$ $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点;
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $(0, f(0))$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
已知函数 $y=f(x)$ 对一切 $x$ 满足 $x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^2=1-\mathrm{e}^{-x}$若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0\left(x_0 \neq 0\right)$ 则
$\text{A.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值;
$\text{B.}$ $f\left(x_0\right)$ 是 $f(x)$ 的极小值;
$\text{C.}$ $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点;
$\text{D.}$ $f\left(x_0\right)$ 不是 $f(x)$ 的极值, $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^n}=-1$, 其中 $n$ 为大于 1 的整数, 则在点 $x=a$ 处
$\text{A.}$ $f(x)$ 的导数存在, 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$;
$\text{B.}$ $f(x)$ 取得极大值;
$\text{C.}$ $f(x)$ 取得极小值;
$\text{D.}$ $f(x)$ 是否取得极值与 $n$ 的取值有关.
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数, 且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$, 则当 $a < x < b$ 时, 有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
用 “ $A \rightarrow B$ ” 表示概念 $A$ 可以推导出概念 $B$, 函数 $y=f(x)$ 的可导、可微、连续、可积在某闭区间上的推导关系正确的是
$\text{A.}$ 可导 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 连续 $\rightarrow$ 可积
$\text{B.}$ 连续 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 可积
$\text{C.}$ 可积 $\rightarrow$ 连续 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 可微
$\text{D.}$ 可积 $\rightarrow$ 可微 $\rightarrow$ 可导 $\rightarrow$ 连续
设 $1 < x < 3$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2024+x^n+x^{2 n}+\frac{1}{3^n} x^{3 n}}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $x$.
$\text{C.}$ $x^2$.
$\text{D.}$ $\frac{x^3}{3}$.
设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导, 则下列命题中, 正确的个数是
(1) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$.
(2) 若 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=\infty$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\infty$.
(3) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限.
(4) 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在且有限, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-\mathrm{e}^{\sqrt{x}}$.
$\text{B.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$.
$\text{C.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$.
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$.
设函数$f(x)$在$R$上处处有定义，且$f(0)=0$，则下列命题错误的是
$\text{A.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时,若 $f(x) \sim \sin ^2 x$, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{B.}$ 若 $0 \leqslant f(x) \leqslant \sin ^2 x$ 恒成立, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{C.}$ 若在 $[0,+\infty)$ 上 $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, 在 $(-\infty, 0)$ 上 $h(x) \leqslant f(x) \leqslant g(x)$, 且当 $x \rightarrow 0$时, 函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 都是 $x$ 的同阶无穷小, 则 $f(x)$ 也是 $x$ 的同阶无穷小.
$\text{D.}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时,若 $f^{\prime}(0)$ 存在且不为 0 ,则 $f(x)$ 是 $x$ 的同阶无穷小.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充分必要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\tan h-h)}{h^3}$ 存在.
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\ln (1+h)-h)}{h^2}$ 存在.
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\arctan h-h)}{h}$ 存在.
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(-h)}{h}$ 存在.
已知函数 $f(x)$ 具有一阶连续导数且 $f(0) \neq 0$, 极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t}-\frac{1}{x^2 f\left(x^2\right)}\right]=$
$\text{A.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{B.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{f^2(0)}$.
$\text{C.}$ $\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
$\text{D.}$ $-\frac{f^{\prime}(0)}{2 f^2(0)}$.
在下列区间内，函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{3 x}-1}{x(x-1)}$ 的有界的是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1,+\infty)$.
$\text{D.}$ 以上都不正确.
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^x+\frac{a x^2+b x}{1-\sin x}\right)^{\cot ^2 x}=1$, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=-1$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$.
已知 $a, b$ 均为常数, 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}\left[\int_0^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t+a\right]=b$, 则
$\text{A.}$ $a$ 为任意常数, $b=0$
$\text{B.}$ $a$ 为任意常数, $b=-1$
$\text{C.}$ $a=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}, b=0$
$\text{D.}$ $a=-\frac{\sqrt{\pi}}{2}, b=-1$
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^{x^2}[1-\cos (x t)] \mathrm{d} t$ 与 $x^n$ 为同阶无穷小, 则 $n$ 的值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
设 $f(x)=\int_x^{x^2}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t, x>1$, 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $\frac{1}{f(n)}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的
$\text{A.}$ 等价无穷小量.
$\text{B.}$ 同阶非等价无穷小量.
$\text{C.}$ 高阶无穷小量.
$\text{D.}$ 低阶无穷小量.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=4$, 则 $\int_0^1\left[f(x) \int_x^1 f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 16
$x \rightarrow 0$ 时, 若 $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x}{1+b x+c x^2}$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小量, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-\frac{1}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{4}{3}, b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{6}$.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
解答题 （ 共 ### 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left(1+\sin ^2 x\right)^{1902}-(\cos x)^{2022}}{\tan ^2 x} $
计算: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^0 \ln (1+t) d t}{x^2}$ 。