一、填空题 （共 1 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $X_1, X_3, \cdots, X_m$ 为来自二项分布总体 $B(n, p)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差. 若 $\bar{X}+k S^2$为 $n p^2$ 的无偏估计量，则 $k=$
二、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $a_n$ 为曲线 $y=x^n$ 与 $y=x^{n+1}(n=1,2, \cdots)$ 所围区域的面积，记 $S_1=\sum_{n=1}^{\infty} a_n ， S_2=\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}$ ，求 $S_1$ 与 $S_2$ 的值
(1) 证明拉格朗日中值定理; 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a) ;
$$
（2）证明: 若函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，在 $(0, \delta)(\delta>0)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)$ 存在，且 $f_{+}^{\prime}(0)=A$.
计算曲面积分 $I=\oint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^2+2 y^2+z^2=4$ 的外侧.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & -2\end{array}\right) ， \xi_1=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$.
(1) 求满足 $A \xi_2=\xi_1, A^2 \xi_3=\xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$ ；
(2) 对(1)中的任意向量 $\xi_2, \xi_3$ ，证明 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关。
设二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a x_1^2+a x_2^2+(a-1) x_3^2+2 x_1 x_3-2 x_2 x_3
$$
(1) 求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值;
(2) 若二次型 $f$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2$ ，求 $a$ 的值.
袋中有 1 个红球、 2 个黑球与 3 个白球: 现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以 $\boldsymbol{X} ， \boldsymbol{Y}, Z$ 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1) 求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
(2) 求二维随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\lambda^2 x e^{-\lambda x} & , x>0 \\ 0 & , \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中参数 $\lambda(\lambda>0)$ 未知， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
（1）求参数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的矩估计量；
(2) 求参数 $\boldsymbol{\lambda}$ 的最大似然估计量.