一、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算定积分 $I=\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$.
求微分方程 $x y^{\prime}+y-\mathrm{e}^x=0, y(2)=1$ 的特解.
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, $f(x)=(x+1)^2+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 求 $f^{(n)}(0)$ 的值 $(n \geq 2)$
设抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 过原点, 当 $0 \leq x \leq 1$ 时, $y \geq 0$, 又该抛物线与直线 $x=1$ 及 $x$ 轴 围成平面图形的面积为 $\frac{1}{3}$, 求 $a, b, c$ 使该图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积 $\mathrm{V}$ 最小
证明方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-2021$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内只有两个不同的实根.
设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M, f(1)=0$, 证明: $\left|\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \frac{M}{3}$.