高等代数习题-数学组卷-自助组卷

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高等代数习题

数学

一、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设四阶矩阵

B = (\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}), C = (\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array})

且矩阵

A

满足关系式

A {(E - C^{- 1} B)}^{T} C^{T} = E

,
其中

E

为四阶单位矩阵,

C^{- 1}

表示

C

的转逆阵,

C^{T}

表示

C

的转置矩阵。将上述关系式简化并求矩阵

A

.

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2. 设

A

是

n \times m

矩阵,

B

是

m \times n

矩阵, 其中

n < m, E

是

n

阶单位矩阵, 若

A B = E

, 证明

B

的列向量组线性无关.

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