设四阶矩阵 $B=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
且矩阵 $A$ 满足关系式 $A\left(E-C^{-1} B\right)^{T} C^{T}=E$,
其中 $E$ 为四阶单位矩阵, $C^{-1}$ 表示 $C$ 的转逆阵, $C^{T}$ 表示 $C$ 的转置矩阵。将上述关系式简化并求矩阵 $A$.

设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.