填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 x \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=x(x>0)$, 且 $f(1)=\frac{1}{\mathrm{e}}$, 则 $f(x)$ 的极大值点和极大值分别为
在区间 $[0,1]$ 上, $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，写出 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(1), f(1)-f(0)$ 的大小关系
设 $f_0(x), f_1(x)$ 是 $[0,1]$ 上的正值连续函数，满足:
$$
\begin{array}{r}
\int_0^1 f_0(x) \mathrm{d} x \leq \int_0^1 f_1(x) \mathrm{d} x . \\
\text { 设 } f_{n+1}=\frac{2 f_n^2(x)}{f_n(x)+f_{n-1}(x)},(n=1,2, \cdots) .
\end{array}
$$
证明: 序列 $a_n=\int_0^1 f_n(x) \mathrm{d} x,(n=1,2, \cdots)$ 单调递增且收敛.
(1) $a_{n+1}-a_n=e^{-a_n}, a_0=1$, 证明 $a_n-\ln n$ 收敛.
(2) 设 $f(x)$ 为单调递增函数, 且 $f^{\prime}(x)$ 有界,
$$
f(\mathbf{0})=\mathbf{0}, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty .
$$
设 $\boldsymbol{F}(x)=\int_0^x f(x) \mathrm{d} x$ ，数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:
$$
a_0=1, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{f\left(a_n\right)}, b_n=F^{-1}(n) .
$$
证明: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_n-b_n\right)=\mathbf{0}$.
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论方程 $\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}=a$ 在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0,+\infty)$ 内根的个数.
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$.
(I) 证明: 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=c$;
(II) 证明: 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=1-f^{\prime}(\xi)$.