单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $I_1=\iint_D \sin \left|\frac{x-y}{2}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, I_2=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_3=\iint_D \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\right\}$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设平面区域 $D$ 是由 $y=x, x=1$ 及 $x$ 轴所围成，二重积分 $\iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} d \sigma$ 转换成平面极坐标系下的二次积分，可表示为?
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} 1 d r$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} 1 d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\sin\theta}} 1 d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\sin\theta}} 1 d r$
函数 $f(x, y)$ 连续，交换二重积分 $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x$ 次序，该二重积分可表示为?
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^3}^x f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^4}^x f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^2}^x f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^5}^x f(x, y) d y$
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x, y)=x y+x^2 y \iint_D x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: y=x, y=0, x=1$ 所围成区域, 则
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=
$$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^2\right) d x d y$其中 $\sum$ 是由 $z=e^y(0 \leqslant y \leqslant 1)$ 绕$z$轴旋转一周得到的曲面，方向取下侧。
计算 $\iint_D y\left(1+x \mathrm{e}^{\frac{x^2+y^3}{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中平面区域 $D$ 由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 所围成.