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看看郑博熙的初中数学合格没有

初中数学

一、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 计算:

(1 - \frac{1}{100}) (1 - \frac{1}{99}) (1 - \frac{1}{98}) \dots (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{2}) =

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2. 已知

a + b + c + d = 0, a b c d < 0

, 则

\frac{| a |}{b + c + d} + \frac{| b |}{a + c + d} + \frac{| c |}{a + b + d} + \frac{| d |}{a + b + c} =

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3. 已知

\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1

, 求

\frac{4 x + 5 x y - 4 y}{x - 3 x y - y}

的值。

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4. 若

x \neq 0

, 则

\frac{\sqrt{1 + x^{2} + x^{4}} - \sqrt{1 + x^{4}}}{x}

的最大值是

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5. 设

x_{i} = \sqrt{2} - 1

或者

\sqrt{2} + 1, i = 1, 2, \dots, 2012

. 令

S = x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4} + \dots + x_{2011} x_{2012} .

(1)

S

能否等于 2013 ? 证明你的结论;
(2)

S

能取到多少个不同的整数值?

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6. 已知

\frac{y + z - x}{x + y + z} = \frac{z + x - y}{y + z - x} = \frac{x + y - z}{z + x - y} = p

, 则

p^{3} + p^{2} + p =

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7. 若实数

a, b, c

满足

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9

, 代数式

(a - b)^{2} + (b - c)^{2}

+ (c - a)^{2}

的最大值是

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8. 求所有的正整数

x, y

满足方程

\sqrt{x y + 2019} = \sqrt{x} + \sqrt{2019}

.

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9. 已知实数

a, b, x, y

满足

a + b = x + y = 2, a x + b y = 5

, 则

(a^{2} + b^{2}) x y + a b (x^{2} + y^{2}) =

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10. 若实数

x, y, z

满足

x + \frac{1}{y} = 4, y + \frac{1}{z} = 1, z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3}

, 求

x y z

的值.

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11. 设

n

是正整数, 且使得

2^{4} + 2^{7} + 2^{n}

是完全平方数, 求

n

的值.

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12. 阅读下列两则材料, 回答问题
材料一: 我们将

(\sqrt{a} + \sqrt{b})

与

(\sqrt{a} - \sqrt{b})

称为一对“对偶式”
因为

(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^{2} - (\sqrt{b})^{2} = a - b

, 所以构造“对偶式”相乘可以有效地将

(\sqrt{a} +

\sqrt{b})

和

(\sqrt{a} - \sqrt{b})

中的“

\sqrt{}

”去掉

例如: 已知

\sqrt{25 - x} - \sqrt{15 - x} = 2

, 求

\sqrt{25 - x} + \sqrt{15 - x}

的值.
解:

(\sqrt{25 - x} - \sqrt{15 - x}) \times (\sqrt{25 - x} + \sqrt{15 - x}) = (25 - x) - (15 - x) = 10

\begin{aligned} ∵ \sqrt{25 - x} - \sqrt{15 - x} = 2, \\ ∴ \sqrt{25 - x} + \sqrt{15 - x} = 5 \end{aligned}

材料二: 如图, 点

A (x_{1}, y_{1})

, 点

B (x_{2}, y_{2})

, 以

A B

为斜边作Rt

△ A B C

,
则

C (x_{2}, y_{1})

, 于是

A C = | x_{1} - x_{2} |, B C = | y_{1} - y_{2} |

, 所以

A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} .

反之, 可将代数式

\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

的值看作点

(x_{1}, y_{1})

到点

(x_{2}, y_{2})

的距离. 例如

\sqrt{x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 y + 2} = \sqrt{(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 2 y + 1)} = \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2}} = \sqrt{(x - 1)^{2} + [y - (- 1)]^{2}} .

所以可将代数式

\sqrt{x^{2} - 2 x + y^{2} + 2 y + 2}

的值看作点

(x, y)

到点

(1, - 1)

的距离.
(1) 利用材料一, 解关于

x

的方程:

\sqrt{20 - x} - \sqrt{4 - x} = 2

, 其中

x \leq 4

；
(2)①利用材料二, 求代数式

\sqrt{x^{2} - 2 x + y^{2} - 16 y + 65} + \sqrt{x^{2} + 4 x + y^{2} - 4 y + 8}

的最小值, 并求出此时

y

与

x

的函数关系式, 写出

x

的取值范围;
② 将①所得的

y

与

x

的函数关系式和

x

的取值范围代入

y = \sqrt{2 x^{2} + 5 x + 12} + \sqrt{2 x^{2} + 3 x + 6}

中解出

x

, 直接写出

x

的值.

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13. 若

a b c = 1

, 解方程

\frac{2 a x}{a b + a + 1} + \frac{2 b x}{b c + b + 1} + \frac{2 c x}{c a + c + 1} = 1

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