一、单选题 （共 5 题，每小题 3分，共 15分）
点 $P(1,0,1)$ 到直线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-3 z=0\end{array}\right.$ 的距离 $d=$ （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$.
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛,下面 4 个级数，
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n-a_{n+1}\right)$;
(3) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)$.
必收敛的个数为 （ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义, 且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=-1$, 则下列正确的是 （ ）
$\text{A.}$ $f(0)=1$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1$.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=-1$.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(0)=1$.
函数 $y=\frac{(x+1)^2}{x}$ 的图形有 $n$ 条渐近线, 则 $n=$ （ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln \left(x^2+y^2\right)=\arctan \frac{y}{x}$ 确定, 且满足 $y(1)=0$, 则 $y^{\prime \prime}(1)=$ （ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 20
二、填空题 （共 5 题, 每小题 3分，共 15分）
微分方程 $x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0$, 满足 $y_{\mid x=2}=1$ 的特解是 ________ .
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为 ________ .
设 $y=\sin ^2x$, 则 $y^{(8)}(0)=$ ________ .
$\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x=$ ________ .
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}\right]^x-\sqrt{e}$ 与 $c \cdot x^k$ 是等价无穷小, 求 $c$ 与 $k$ 的值分别为 ________ .
三、解答题 （ 共 8题，满分 70 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \tan x}\right)$
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=e^t \cos t \\ y=e^t \sin t\end{array}\right.$, 求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}$ 。
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^2-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程
列表讨论函数 $y=x^{\frac{5}{3}}-5 x^{\frac{2}{3}}$ 的单调区间、极值点、凹凸区间及拐点。
计算 $\int \frac{\arccos x}{x^2} \mathrm{~d} x$.
计算 $\int_{-1}^1 \frac{x+2}{e^x+e^{-x}} \mathrm{~d} x$.
证明 $x>0$ 时, $\ln (1+x)>x-\frac{1}{2} x^2$.
设曲线 $x=y^2(y>0), x=2-y^2(y>0)$ 及 $y=0$ 围成一平面图形 D.
(1) 求平面图形 D 的面积;
(2) 求平面图形 D 绕 $y$ 轴旋转一周而成的立体的体积
