一、解答题 （ 共 4 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f$ 与 $g$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且对任何 $x \in[a, b], g^{\prime}(x) \neq 0$. 又 $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(x) g(x) d x=0$.证明: 存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
设 $A=\left\{\sqrt{\frac{m}{n}} \mid m, n\right.$ 为正整数 $\} \backslash \mathbb{Q}$, $x_0=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{10^{n !}}$. 对于 $x>0$, 定义 $f(x)= \begin{cases}0, & x \text { 为无理数, } \\ \frac{1}{q^\alpha}, & x=\frac{p}{q} \text { 为既约分数. }\end{cases}$
证明: 1 . 对任何 $x \in A$, 存在常数 $M_x>0$ 使得对任何既约分数 $\frac{p}{q}$ 都有 $\left|x-\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{M_x}{q^2}$. 2. $f$ 在 $A$ 中每个点可微的充要条件是 $\alpha>2$.
3. 对任何 $\alpha$, 函数 $f$ 在 $x_0$ 处均不可微.
行列式 $D=\left|\begin{array}{ccccc}a & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a & b \\ b & 0 & 0 & 0 & a\end{array}\right|$
算 $n$ 阶行列式
$$
D_n=\left|\begin{array}{cccc}
1+a_1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1+a_2 & \cdots & 1 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
1 & 1 & \cdots & 1+a_n
\end{array}\right|
$$其中 $a_1 a_2 \cdots a_n \neq 0$.