一、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $n$ 阶实方阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{A}$, 证明: 若对任意的实列向量 $\boldsymbol{x}$,均有 $\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{A}^{\prime} \boldsymbol{A x} \leq \boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{x}$, 则 $\boldsymbol{A}$ 是实对称阵.
设 $\boldsymbol{A}$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n(n>1)$ 阶方阵, $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n-1, \boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$的伴随矩阵. 记齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}}, \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间为 $V_{\boldsymbol{A}^*}$. 证明: $\mathbb{K}^n=V_{\boldsymbol{A}} \oplus V_{\boldsymbol{A}^*}$ 成立的充要条件是 $\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{A}^*\right) \neq 0$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实对称阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实方阵, $\boldsymbol{D}=\operatorname{diag}\left\{d_1, d_2, \cdots\right.$, $\left.d_n\right\}, d_i>0(1 \leq i \leq n)$, 满足:
$$
\left|\begin{array}{cc}
\mathrm{i} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{D} & \mathrm{i} \boldsymbol{B} \\
\boldsymbol{B}^{\prime} & \boldsymbol{C}
\end{array}\right|=0,
$$
其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位. 证明: $\left|B^2+C^2\right|=0$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 使得 $B A^{-1} C$ 为对称阵. 证明:
$|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,$
并求等号成立的充分必要条件.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶正定实对称阵, $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, 使得 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C}$ 为对称阵. 证明:
$
|\boldsymbol{A}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}| \leq|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \cdot|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{C}|,
$
并求等号成立的充要条件.